Question

Треугольник ABC — прямоугольный, ∢ A=60° и AB= 8 м.

Вычисли стороны треугольника и радиус R описанной около него окружности.

Answer 1

Для решения этой задачи, нам понадобятся основные свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические соотношения.

1. Найдем стороны треугольника:
По условию, у нас имеется прямоугольный треугольник ABC, где ∠A = 60° и AB = 8 м.
Так как ∠A = 60°, то угол ∠C = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°.
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза (в данном случае BC) всегда является наибольшей стороной.
Также, по теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
AB² + BC² = AC².
Вместо AB можем подставить 8 м:
8² + BC² = AC².
Также, зная, что ∠C = 30°, мы можем использовать тригонометрическое соотношение sin:
sin∠C = BC / AC.
Так как sin∠C = sin 30° = 0.5, подставим это значение в наше уравнение:
BC / AC = 0.5.
Подставим известное нам значение BC вместо BC в уравнение выше:
8 / AC = 0.5.
Теперь перенесем AC на одну сторону и численное значение на другую:
AC = 8 / 0.5 = 16 м.
Таким образом, сторона AC треугольника ABC равна 16 м.

2. Найдем оставшуюся сторону треугольника:
Из уравнения AB² + BC² = AC², можем найти BC:
BC² = AC² - AB².
Подставляем известные значения:
BC² = 16² - 8² = 256 - 64 = 192.
Извлекаем квадратный корень:
BC = √192 ≈ 13.856.
Таким образом, сторона BC треугольника ABC равна примерно 13.856 м.

3. Найдем радиус описанной окружности (R):
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике, если гипотенуза (в данном случае AC) равна диаметру описанной окружности, то радиус (R) будет половиной гипотенузы.
Таким образом:
R = AC / 2 = 16 / 2 = 8 м.
Итак, радиус описанной окружности треугольника ABC равен 8 м.

Таким образом, стороны треугольника ABC равны: AB = 8 м, BC ≈ 13.856 м, AC = 16 м, и радиус описанной около него окружности равен R = 8 м.