1. а) AB=BC=CD=AD => ABCD - квадрат;
NK||DC => NK||MDC;
б) Прямая FL принадлежит плоскости MDC => FL параллельна любой прямой плоскости MDC => FL||KN;
в) 1) NK||FL ;
2) FL=0,5DC=0,5NK (как средняя линия треугольника MDC) => NFLK - трапеция
3)тр-ки BMC и ADM - Равносторонние => угол MCB = углу MDA = 60 градусов;
4) CK = ND; CL=DF; угол MCB = углу MDA => тр-ки CLK=DNF => NF=LK
5) из данного равенства следует, что трапеция NFLK - равнобедренная;
2. NK=а; FL=a/2;
KL найдем из тр-ка CKL по теореме косинусов:
KL^2=CK^2+CL^2-2*CK*CL*cos60=a^2/4+a^2/4-2*(a/2)*(a/2)*1/2=a^2/4;
KL=a/2;
NF=KL=a/2
P=NK+KL+FL+NF=a+a/2+a/2+a/2=5a/2;
3. (рисунок прилагается) 1) Опустим высоты FH1 и LH2 на сторону NK;
2)FLH1H2 - прямоугольник => H1H2 =FL= a/2
т.к. трапеция равнобедренная, NH1=KH2 =(a-a/2)/2=a/4;
3)KH2/KL=1/2 => угол KLH2=30°;
4)LH2=LK*cos30=a/2*корень(3)/2=корень(3)*a/4;
5) S=1/2(FL+NK)*LH2=1/2*3a/2*корень(3)*a/4=3*корень(3)*a^2/16
Введем обозначения. Пусть АС =х, тогда АВ=2х, СВ₁=у, АВ₁=х-у, СВ=√((2х)²-х²))=х√3.
Пользуюсь только свойством биссектрисы угла.))) Она делит катет АС на отрезки АВ₁ и СВ₁, пропорциональные прилежащим сторонам АВ и СВ, составим пропорцию. АВ₁/СВ₁=АВ/СВ, с учетом обозначений
(х-у)/у=2х/х√3, х/у-1=2/√3; х/у=(1+2/√3), х√3/у=2+√3; у/(х√3)=1/(2+√3)
у/(х√3)=(2-√3)/((2-√3)(2+√3)); у:(х√3)=(2-√3)/1
Получили: у:(х√3)=(2-√3), но слева стоит отношение, которое определяет tg15°. Требуемое доказано Менее интересен. Но все же. Можно любую формулу тригонометрии привлечь. Мне нравится эта.) tg(α/2)=sinα/(1+cosα), где α=30°, т.е. tg15°=sin30°/(1+cos30°)=0,5/(1+√3/2)=2*0,5/(2+√3)=
(2-√3)/1=2-√3;
все углы = 90°
если нужно пояснение напиши коментарий