Question

Дано: ∠В = ∠С =90°; ∠1 = ∠2. Докажите, что АВ = СD.

​

Answer 1

Для доказательства того, что AB = CD в данном случае, мы можем использовать свойства прямоугольника и равенства углов.

Итак, у нас есть дано ∠В = ∠С = 90°, что означает, что углы В и С являются прямыми углами, а значит AC является диагональю прямоугольника ABCD.

Также по условию дано, что ∠1 = ∠2, что означает, что углы 1 и 2 равны между собой.

Теперь представим, что AB ≠ CD. Пусть AB > CD для удобства доказательства, но аналогичные шаги можно провести и для случая AB < CD.

Тогда мы можем взять отрезок DE, который равен AB, и построить AD и BE так, чтобы DE являлось боковой стороной прямоугольника DEDF (здесь F - точка на продолжении AD).

Теперь рассмотрим треугольники ADB и CFE. У нас есть:

∠А = ∠В = 90° (по условию)
∠D = ∠С = 90° (по условию)
∠1 = ∠2 (по условию)

Таким образом, у нас имеются два прямоугольных треугольника с равными углами.

Теперь рассмотрим стороны этих треугольников:

AB = DE (по построению)
AD = CF (по построению)

Также, по теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ADB мы можем выразить AB через AD и BD:

AB² = AD² + BD²

Аналогично, из прямоугольного треугольника CFE мы можем выразить DE через CF и FE:

DE² = CF² + FE²

Так как AB = DE, мы можем записать:

AB² = CF² + FE²

Но мы также знаем, что AD = CF. Значит, AD² = CF².

Таким образом, мы можем переписать первое уравнение:

AB² = AD² + BD²
AB² = AD² + BD² = CF² + FE²

Теперь рассмотрим треугольникы ADB и CFE с точки зрения равенства сторон и равенства углов. У нас есть:

AB = DE
AD = CF
BD = FE (по построению)

Таким образом, по признаку равенства треугольников (Со стороны-угол-сторона) треугольники ADB и CFE равны между собой.

Но это противоречит поставленной гипотезе о том, что AB ≠ CD.

Следовательно, наше предположение было ошибочным, и мы можем заключить, что AB = CD.