В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены высоты АH и СN, которые пересекаются в точке О. Найдите угол CВО, если ∠HОN = 140°. ответ дайте в градусах.
Точки M и N- середины отрезков AD и BC соответственно.Тогда MN - перпендикуляр к ВС и АD. АВ =СD так как ВС паралельно АД и каждая из точек В и С равноудалена от каждой из точек отрезка АД. Следовательно АВ=СД. Рассмотрим треугольники ВОМ и NOD. У них: ОМ=ОN уголBOM=уголNOD(вертикальные) ВО=OD Треугольники NОД и ВОМ равны по первому признаку
Рассмотрим треуг. АВД и ВСД. У них: АВ=СД ВД=ВД(общая) Угол ВМО=уголОDN(так как треуг. ВОМ=NOD) АВД=ВСД по первому признаку У равных треуг. равные площади, Sabd=Sbcd
В равнобедренном треугольнике острым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию (в треугольнике не может быть двух тупых углов). ∠ABH=60°
Внешний угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, в два раза больше угла при основании. ∠BAC=∠BCA=30°
△AOK~△CHK (прямоугольные т. с равными острыми углами) CH/AO=CK/AK
Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные отношению квадрата прилежащего катета к гипотенузе. AK=AH^2/AC, CK=CH^2/AC CK/AK= CH^2/AH^2
Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. AH=AC/2
ОМ=ОN
уголBOM=уголNOD(вертикальные)
ВО=OD
Треугольники NОД и ВОМ равны по первому признаку
Рассмотрим треуг. АВД и ВСД. У них:
АВ=СД
ВД=ВД(общая)
Угол ВМО=уголОDN(так как треуг. ВОМ=NOD)
АВД=ВСД по первому признаку
У равных треуг. равные площади,
Sabd=Sbcd