В задаче дано, что точки M и N являются серединами соответственно сторон BC и CD ромба ABCD, и что отрезок AM перпендикулярен отрезку BN. Нам нужно доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом.
Для начала, давайте вспомним, что такое ромб. Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны друг другу. Давайте обозначим сторону ромба ABCD как a, тогда BC = CD = a.
Также, по определению, середина отрезка является точкой, которая делит данный отрезок пополам. Значит, мы можем сказать, что BM = MC = a/2 и CN = ND = a/2.
Давайте теперь рассмотрим треугольник AMN. У нас есть две перпендикулярные стороны в этом треугольнике - AM и BN. Мы можем использовать теорему о катетах прямоугольного треугольника, которая говорит, что если квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов, то треугольник является прямоугольным.
Поэтому, мы можем записать следующее:
AM^2 + BN^2 = AN^2
Так как AM и BN перпендикулярны, то их произведение равно нулю:
AM * BN = 0
Раскроем скобки:
(AM * AM) + (BN * BN) = AN^2
AM^2 + BN^2 = AN^2
AM^2 + 0 = AN^2
AM^2 = AN^2
Заметим, что AM = AN, так как точка M является серединой стороны BC, а точка N - серединой стороны CD ромба ABCD.
Значит, все три стороны треугольника AMN равны друг другу.
Но также мы знаем, что BM = MC и CN = ND. То есть треугольники ABM и DNC также равнобедренные.
Так как у нас есть два равнобедренных треугольника с равными основаниями AB и CD, а третья сторона AM и DN также равна, то мы можем заключить, что у нас имеется три стороны, равные между собой. Это означает, что все стороны ромба ABCD равны.
Таким образом, мы доказали, что все стороны ромба ABCD равны, что соответствует определению квадрата.
Тут всё довольно таки просто, если в четырёхугольнике один угол равен 90°, то все углы равны 90° и это квадрат.