В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60°. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой апофемы, равен 3. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
* * *
Решение.
Двугранный угол измеряется величиной линейного угла между двумя лучами, проведенными перпендикулярно к одной точке ребра двугранного угла.
Боковая грань правильной пирамиды - равнобедренный треугольник. Апофема МН и высота СН основания перпендикулярны ребру АВ в его середине Н. АН=ВН.
Угол МНС - линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания - точку пересечения его медиан ( высот, биссектрис).
Высота пирамиды МО - перпендикулярна плоскости основания,⇒
МО⊥СН.
∆ МОН - прямоугольный, КО - его медиана.
По свойству медианы прямоугольного треугольника МК=КН=КО=3, ⇒ МН=2•3=6
По условию ∠КНО=60°.
В ∆ КОН стороны КО=НК ⇒ НО=КО=3
СН медиана и высота основания АВС,
Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому ∠ABD = ∠ADB, BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x. ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°. ∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится: cos 80° ≈ 0,1736 BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2
В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60°. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой апофемы, равен 3. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
* * *
Решение.
Двугранный угол измеряется величиной линейного угла между двумя лучами, проведенными перпендикулярно к одной точке ребра двугранного угла.
Боковая грань правильной пирамиды - равнобедренный треугольник. Апофема МН и высота СН основания перпендикулярны ребру АВ в его середине Н. АН=ВН.
Угол МНС - линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания - точку пересечения его медиан ( высот, биссектрис).
Высота пирамиды МО - перпендикулярна плоскости основания,⇒
МО⊥СН.
∆ МОН - прямоугольный, КО - его медиана.
По свойству медианы прямоугольного треугольника МК=КН=КО=3, ⇒ МН=2•3=6
По условию ∠КНО=60°.
В ∆ КОН стороны КО=НК ⇒ НО=КО=3
СН медиана и высота основания АВС,
Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
СН=3•ОН=9.
S ∆ ABC=CH•AB:2=0•6√3:2=27√3
S бок=3•МН•AB:2=3•6•6√3:2=54√3
Sполн=27√3+54√3=81√3 (ед. площади)