У трикутник АВС вписано коло з центром у точці О. К, М, N- точки дотику кола відповідно до сторін АВ, ВС і АС трикутника. Доведіть, що АК + ВМ- ВК+ AN.
1) Найдите величину острого угла параллелограмма АВСД,если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол,равный 43°. ответ дайте в градусах.
Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник. Следовательно, угол, из которого проведена биссектриса, вдвое больше острого угла этого треугольника. Угол А=43°*2=86° 2) Магазин дает скидку пенсионерам на определенное количество процентов от стоимости покупки. Десяток яиц в магазине стоит 40 рублей, а пенсионер заплатил за них 35 рублей 60 копеек. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров? 40-35,6=4,4(руб) на столько платит пенсионер меньше Пропорция 40 -→100% 4,4-→х% х=440:40=11% скидка 3) Проектор полностью освещает экран А высотой 50 см, расположенный на расстоянии 100 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран В высотой 150 см,чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными?
Задача на подобие треугольников. Высоты экранов пропорциональны расстоянию от проектора до экрана. 150:50=х:100 50х=15000 х=300 (метров) 4) Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 22 км. Турист путь из А в В за 4 часа, из которых спуск занял 3 часа. С какой скоростью турист шел на спуске, если его скорость на подъеме меньше его скорости на спуске на 2 км/ч?
Пусть скорость на подъеме будет х км/ч. Тогда на спуске х+2 км/ч В горку турист шел 4-3=1 час и х км. На спуске он х+2) км, а всего х+3х+6=22 км 4х=16 х=4 (км/ч) на подъеме. х+2=6 км/ч ответ: Турист на спуске шел со скоростью 6 км/ч
Пусть квадрат СКМН вписан в треугольник АВС, причем точка М лежит на АВ.
Примем сторону квадрата равной х.
Тогда АК=12-х, ВН=10-х
Площадь ∆ АВС состоит из площади двух прямоугольных треугольников и площади квадрата.
S АВС=Ѕ АКМ+Ѕ МВН+Ѕ КМНС. ⇒
12•10=(12-х)•х+(10-х)•х+2х²⇒
120=22х⇒
————
Или:
Проведем биссектрису СМ .
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
АМ:ВМ=АС:ВС=12/10=
Откуда АВ=11 частей, и СВ:х=АВ:АМ=11/6⇒
11х=60
———
Можно использовать также подобие треугольников АКМ и МНВ, из чего следует
АК:МН=КМ:ВН - ответ будет, естественно, тем же.