Стороны прямоугольника относятся как 4:3. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 10 см. Найдите стороны прямоугольника.
ОС - радиус нашей окружности. По условию равен 10 см.
АС - диаметр этой же окружности и соответственно он равен удвоенному радиусу:
AC = 2OC = 20 (см)
Рассмотрим треугольник АСD. Он прямоугольный. Так как АС - гипотенуза, пользуясь т.Пифагора и тем, что стороны прямоугольника относятся в отношении 4 : 3, составим уравнение.
Теорема Пифагора:
c² = a² + b² , где с - гипотенуза, а и b - катеты прямоугольного треугольника.
Тогда:
20² = (3x)² + (4x)²
400 = 9x² + 16x²
400 = 25x²
x² = 400 : 25
x² = 16
x = 4 и х = - 4 (не подходит по условию задачи)
Значит, стороны прямоугольника - 3 * 4 = 12 (см); 4 * 4 = 16 (см).
ответ: 12(см) и 16(см).
Центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, в котором она проведена. Точка пересечения биссектрис углов треугольника равноудалена от всех трех его сторон. Биссектриса равностороннего треугольника является и его высотой и медианой.
Так как медианы любого треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1,
а высоты равностороннего треугольника являются срединными перпендикулярами к его сторонам,
радиус описанной окружности равен расстоянию от точки пересечения высот до вершин треугольника и равен, 2/3 высоты,
а вписанной - расстоянию от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника и равен 1/3 высоты правильного треугольника.
Радиус вписанной в данный треугольник окружности равен 3:3= 1см.
Радиус описанной вокруг данного треугольника окружности равен (3:3)*2 см Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник равен одной трети высоты, а радиус описанной - двум третям. Значит, радиус вписанной 1 см, описанной - 2 см.
-----------------------------------
Для решения задачи чертеж не нужен. Но раз учитель требует, даю и чертеж и подробное решение.