Сделаем иллюстрацию. Примем, что О находится внутри треугольника.
Тогда ОА, ОВ и ОС - радиусы окружности. Раз ОВС равно 55, а ОВ=ОС, то треугольник ОВС равнобедренный и угол ОСВ тоже 55. Значит угол ВОС = 180-55-55=70
Теперь обозначим оставшиеся углы: АВО=ВАО=х, АСО=САО=у, АОВ=k, АОС=m. Составим систему уравнений:
Сделаем иллюстрацию. Примем, что О находится внутри треугольника.
Тогда ОА, ОВ и ОС - радиусы окружности. Раз ОВС равно 55, а ОВ=ОС, то треугольник ОВС равнобедренный и угол ОСВ тоже 55. Значит угол ВОС = 180-55-55=70
Теперь обозначим оставшиеся углы: АВО=ВАО=х, АСО=САО=у, АОВ=k, АОС=m. Составим систему уравнений:
1) 70+k+m=180 - для углов вокруг точки О
2) 2*55+2х+2у=180 - сумма углов треугольника АВС
3) k+2х=180 - сумма углов треугольника АВО
4) m+2у=180 - сумма углов треугольника АСО
Решаем систему:
Из (3): k=180-2x
Из (4): m=180-2у
Подставляя в (1): 70+180-2х+180-2у=180
2х+2у=70
Записываем (2): 2х+2у=70
Получились тождественно равные уравнения. Отсюда 2(х+у)=70, (х+у)=35
Посмотрим на рисунок - искомый нами угол и равен х+у. Значит, он равен 35 градусов
Насчёт решения для случая, когда О лежит вне окружности - не уверен, а проверять несколько лень