Пусть дан неразвёрнутый угол А.
Построение
Проведём окружность произвольного радиуса с центром
A
и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами
B
и С.
Затем построим две окружности радиуса
с центрами
и С.
Они пересекутся в двух точках. Ту из точек пересечения окружностей, которая лежит с точкой A по разные стороны от прямой BC, обозначим буквой
. Наконец, проведём луч
. Это и есть искомая биссектриса данного угла A.
Доказательство
В самом деле, треугольники ABD и
равны по
(AB =
, BD =
,
─ общая сторона). Поэтому ∠ BAD = ∠
, т.е. луч
─ биссектриса угла
.B
C
O
AB
OM
BC
P
Q
M
AC
PQ
OP
OQ
BAC
OPQ
ABC
OMQ
A
MOQ
трём сторонам
двум сторонам и углу между ними
стороне и прилежащим углам
Рисунок - во вложении.
Т.к. E и F - внутренние точки отрезка АВ, и по условию АЕ=BF, то
для EB=AB-AE и для AF=AB-BF следует, что EB=AF.
Рассмотрим прямоугольные ΔADF и ΔВСЕ. У них: 1) АD=BC (противолежащие стороны прямоугольника); 2) AF=EB (по доказанному выше). Значит, ΔADF = ΔВСЕ по двум катетам.
Из равенства этих треугольников следует, что ∠DFA=∠СЕВ. Отсюда, ΔEGF - равнобедренный с основанием EF, тогда GF=GE. Доказан пункт Б).
Т.к. АВСD - прямоугольник, то АВ║CD. Тогда ∠EFG=∠GDC(как накрестлежащие при секущей FD) и ∠FEG=∠GCD (как накрестлежащие при секущей ЕС). Отсюда, ΔDGС - равнобедренный с основанием DC, тогда DG=GC. Доказан пункт A).