Question

Одно из оснований призмы лежит в плоскости 2x - 3y +z -5=0. Напишите уравнение плоскости, в которой лежит другое основание, если одна из вершин призмы имеет координаты (8;1;0)

Answer 1

Хорошо, давай решим эту задачу вместе.

Очевидно, что одно из оснований призмы лежит в плоскости 2x - 3y + z - 5 = 0. Это уравнение плоскости. Мы знаем, что плоскость проходит через одну из вершин призмы, которая имеет координаты (8;1;0).

Чтобы найти уравнение плоскости, в которой лежит другое основание призмы, нам нужно найти нормаль вектор этой плоскости.

Вектор нормали плоскости можно найти из коэффициентов уравнения плоскости. В данном случае, уравнение плоскости имеет вид: 2x - 3y + z - 5 = 0.

Нормальный вектор плоскости (a, b, c) перпендикулярен плоскости и его координаты в точности равны коэффициентам уравнения плоскости. В данном случае, нормальный вектор плоскости (2, -3, 1).

Нормализуем этот вектор (приведем его к длине 1), поделив его на его длину:

|N| = sqrt(2^2 + (-3)^2 + 1^2) = sqrt(4 + 9 + 1) = sqrt(14)

Нормализованный вектор N = (2/sqrt(14), -3/sqrt(14), 1/sqrt(14)).

Теперь у нас есть нормализованный вектор N и одна из вершин призмы (8;1;0). Чтобы найти уравнение плоскости, проходящее через другое основание призмы, воспользуемся формулой плоскости:

a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0,

где (x1, y1, z1) - координаты вершины призмы, a, b, c - координаты нормализованного вектора.

Подставим известные значения:

2/sqrt(14)(x - 8) - 3/sqrt(14)(y - 1) + 1/sqrt(14)(z - 0) = 0.

Можно упростить это уравнение, умножив все слагаемые на sqrt(14), чтобы избавиться от знаменателя:

2(x - 8) - 3(y - 1) + (z - 0) = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, в которой лежит другое основание призмы, имеет вид:

2x - 16 - 3y + 3 + z = 0,

или

2x - 3y + z - 16 + 3 = 0,

или

2x - 3y + z - 13 = 0.

Ответ: уравнение плоскости, в которой лежит другое основание призмы, имеет вид 2x - 3y + z - 13 = 0.