В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла A до пересечения со стороной BC в точке K. Отрезок AK=8 см, угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. Найдите стороны и площадь прямоугольника ABCD.
Обозначим точку пересечения диагоналей О.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
∆АОВ и ∆COD - равнобедренные, углы при АВ и CD равны по (180°-30°):2=75°⇒
в ∆ АВС ∠BСA=90°-75°=15°
∆ АВК - прямоугольный с острым углом ВАК=45°⇒
∠ВКА=45° ⇒ ∆ АВК равнобедренный.
АВ=АК*sin45°=(8*√2)/2=4√2 см
В ∆ АВС по т.синусов
АВ:sin15°=BC:sin75°
По таблице синусов
sin 15° =0,2588
sin75°=0,9659
4√2:0,2588=ВС:0,9659⇒
ВС=21,1127 см
S=AB•ВС=4√2•21,1127≈ 119,426 см²
------
Как вариант:
Найти из прямоугольного ∆ АВС диагональ АС:
АС=АВ:sin 15º=(4√2):0,2588
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
S=0,5•d₁•d₂•sinφ , где
d₁ и d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними/
Тогда S=0,5•{4√2):0,2588}²•0,5=≈ 119,426 см²
Площадь боковой поверхности цилиндра больше площади его основания в 3 раза. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения равна 5 см.
————
Формула площади боковой поверхности цилиндра S(б)=H•2πR, где Н - высота цилиндра, R- радиус основания.
Формула площади основания цилиндра ( круга) S(о)=πR²
По условию H•2πR=3πR².
Из этого отношения выводим 2Н=3R и Н=1,5 R.
Осевое сечения цилиндра - прямоугольник. Диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.
Здесь диагональ D = гипотенуза=5 см, катеты Н=1,5R, и d=2R.
По т.Пифагора D²=(1,5H)²+(2R)²
25=6,25R² ⇒ R=2 см, Н=1,5•2=3 см
S(полн)=Ѕ(бок)+2•Ѕ(осн)
Ѕ(полн)=3•4π+2˙π•2²=20π см²