1.Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды 45°. Найти: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды ------- Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. В треугольнике АSС, содержащем высоту пирамиды, углы при основании АС равны 45º Тогда его медиана ( высота, биссектриса) SO равна ОС- половине ОС=SC:sin 45º=2√2. Высота пирамиды равна 2√2 см. AB=BC=CD Углы треугольников. образованных диагоналями при их пересечении, равны 45º ( свойство диагоналей квадрата)⇒ СD=AD=2√2*sin45º=4⇒ боковые грани пирамиды - правильные треугольники. Формула площади правильного треугольника S=a²√3):4 S=16√3:4 Боковых граней 4. Площадь боковой поверхности 4S=16√3 см² ----------- 2. Ребро правильного тетраэдра DABC = а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, и найдите площадь этого сечения. -- Сечение, проходящее через середину одного ребра тетраэдра и параллельное противолежащей грани, проходит через середины всех ребер, выходящих из одной вершины, и образует треугольник, подобный боковой грани. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. k=1/2 Пусть S - площадь грани, а S₁ - площадь сечения S₁:S=k²=1/4. S ∆ DBC=a²√3):4 S сечения =S ∆ DBC:4=a²√3):16
1) Сторону правильного n-угольника можно вычислить по формуле a=2R*sin 180/n, где n - количество сторон. Однако, R мы не знаем. Его можно вычислить по другой формуле - R=r/cos 180/n. Подставим сюда известные числовые значения: R=3/cos 18=3/0.95=3.15 (см). Найдем сторону фигуры: a=2*3.15*sin 180/n=2*3.15*0.3=1.89 (см) ответ: 1.89 см. 2) Найдем R: R = r/cos 180/n=5/√3/2=10√3/3 (см) Длина стороны равна R, следовательно a=R=10√3/3, значит, P = 6a=10√3/3*6=20√3 (cм) или 34.64 см. ответ: 20√3 см или 34.64 см. 3) Радиус описанной около 6-угольника окружности = длине стороны, следовательно R = 5√3 см. Для треугольника эта же окружность является вписанной, т.е. для треугольника r=5√3. В свою очередь, R=2r=2*5√3=10√3 (см). Сторону правильного треугольника можно вычислить по формуле a=R√3=10√3*√3=10*3=30 (см). ответ: 30 см.
Найти:
а) высоту пирамиды;
б) площадь боковой поверхности пирамиды
-------
Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.
В треугольнике АSС, содержащем высоту пирамиды, углы при основании АС равны 45º
Тогда его медиана ( высота, биссектриса) SO равна ОС- половине ОС=SC:sin 45º=2√2.
Высота пирамиды равна 2√2 см.
AB=BC=CD
Углы треугольников. образованных диагоналями при их пересечении, равны 45º ( свойство диагоналей квадрата)⇒
СD=AD=2√2*sin45º=4⇒
боковые грани пирамиды - правильные треугольники.
Формула площади правильного треугольника
S=a²√3):4
S=16√3:4
Боковых граней 4. Площадь боковой поверхности 4S=16√3 см²
-----------
2. Ребро правильного тетраэдра DABC = а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, и найдите площадь этого сечения.
--
Сечение, проходящее через середину одного ребра тетраэдра и параллельное противолежащей грани, проходит через середины всех ребер, выходящих из одной вершины, и образует треугольник, подобный боковой грани.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
k=1/2
Пусть S - площадь грани, а S₁ - площадь сечения
S₁:S=k²=1/4.
S ∆ DBC=a²√3):4
S сечения =S ∆ DBC:4=a²√3):16