Пусть a, b - катеты, c - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности.
Точка пересечения медиан лежит на медиане к гипотенузе на расстоянии 2/3 её длины от вершины прямого угла. Легко увидеть, что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 и b/3. Соединим эту точку с центром вписанной окружности, которая находится на расстоянии r от обоих катетов. Предположим, что этот отрезок равен r - и сразу получается соотношение.
(a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2;
(a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0;
Подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;
c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0;
r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0;
(r/c)^2 + 2*(r/c) - 1/3 = 0; Обозначаем r/c = x;
x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1;
поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то
sin(A) + cos(A) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны
1 + sin(2*A) = (4*корень(3)/3 -1)^2;
sin(2*A) = (2 - корень(3))*8/3;
A = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);
Мы получили решение, имеющее смысл. Поэтому такой треугольник существует. Между прочим, угол 2*А очень близок к 45 градусам.
1)Рассмотрим ΔABC, <C = 90°. M - середина гипотенузы, MN || BC, MK || AC. Поскольку MN проходит через середину гипотенузы, и MN || BC, то MN - средняя линия этого треугольника. аналогично имеем, что MK - также средняя линия. По свойству средней линии MK = AC/2. Но N - середина AC, так как MN - также средняя линия. Следовательно, получаем
MK = AC/2; NC = AC/2 ; MK = NC. Поскольку MK || AC, то MK || NC. А мы знаем, что если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм. Параллелограм же, в котором есть прямой угол(<C - прямой по условию), то этот параллелограмм -прямоугольник. Следовательно, СNMK - прмоугольник.
2)Диагонали найти теперь проще простого. Соединим вершину C с вершиной M.(CM - диагональ). Так как M - середина гипотенузы, то CM - медиана. А медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Значит, CM = 9 : 2 = 4.5 см. В прямоугольнике диагонали равны, значит, NK = CM = 4.5 см.
чтобы найти площадь круга, нужно квадрат радиуса умножить на число пи
диаметр, это два радиуса, значит
а) 4÷2=2 см - радиус
3.14×2^2=12,56 см
б) 10÷2=5 см - радиус
3.14×5^2=78,5 см
если что, ^2 - это квадрат
за число пи взяла 3,14