1 Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 8 см, а радіус описаної навколо неї кулі – 9 см. Знайти площу бічної поверхні призми.
2 Знайти радіус кулі, вписаної в правильну шестикутну піраміду, якщо радіус кола, описаного навколо її основи, дорівнює 12П см, а двогранний кут піраміди при ребрі основи дорівнює 45°.
3 У кулю, радіус якої дорівнює 7 см, вписано циліндр, висота якого дорівнює діаметру його основи. Знайти площу бічної поверхні циліндра.
4 Твірна конуса дорівнює 15 см, а кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 45°. Знайти площу великого круга кулі, описаної навколо конуса.
5 Радіус більшої основи зрізаного конуса дорівнює 25 см, твірна – 30 см, а висота – 24 см. Знайти площу поверхні сфери, описаної навколо даного зрізаного конуса.
6 Прямокутний трикутник з катетами 14 см і 48 см обертається навколо гіпотенузи. Обчислити об’єм утвореного тіла.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301