Угол между плоскостями - это один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что этот угол равен углу между нормальными векторами (перпендикулярами к) плоскостей. Уравнение одной плоскости нам дано: x+y=0, то есть это уравнение общего вида Ax+By+Cz+D=0 с коэффициентами А=1, В=1, С=0 и D=0. Уравнение второй плоскости найдем через определитель для плоскости, проходящей через три точки, одна из которых нам дана: М(3;-1;-1), а две другие лежот на оси 0Х:О(0;0;0) (начало координат) и Р(5;0;0) - можно взять любую, лежащую на этой оси. Тогда имеем: |X-Xo Xp-Xo Xm-Xo| |X 5 3 | |Y-Yo Yp-Yo Ym-Yo | =0. => |Y 0 -1| =0 => X*0 -Y*(-5) +Z*(-5) =0. |Z-Zo Zp-Zo Zm-Zo | |Z 0 -1| Это уравнение общего вида с коэффициентами А1=0, В1= -5, С1= -5 и D1=0. Вектора нормалей этих плоскостей n1{A;B;C} и n1{A1;B1;C1} или n1{1;1;0} и n1{0;-5;-5}. Искомый угол между плоскостями найдем по формуле: Cosα =|0+(-5)+0|/(√(1+1+0)*√(0+25+25)) =5/(√2*√50) =1/2. Угол α = arccos(1/2) = 60°.
Проведем высоту из вершины B (новая вершина Е). Получим прямоугольный треугольник. Отрезок AE = BC, так как ad : bc = 3:1. Вычислим AE по формуле AE = AB * cos ∠BAD = 8*√3/2 = 4*√3
Из этого следует BC = 4*√3, AD=12*√3 Зная все стороны находим площадь. S = (BC+AD)/2 * √AB² - (AD-BC)²/4 = 8*√3 * √64-192/4 = 32*√3 ответ: 32*√3
Второй вариант. Найдем высоту h трапеции, зная длину отрезка AE. h² + (4*√3)² = 8² h = 4 Вычисляем площадь по формуле через высоту S = (4*√3+12√3)/2*h = 32*√3 ответ: 32*√3 ответ одинаковый в двух вариантах.
Уравнение одной плоскости нам дано: x+y=0, то есть это уравнение общего вида Ax+By+Cz+D=0 с коэффициентами А=1, В=1, С=0 и D=0.
Уравнение второй плоскости найдем через определитель для плоскости, проходящей через три точки, одна из которых нам дана: М(3;-1;-1), а две другие лежот на оси 0Х:О(0;0;0) (начало координат) и Р(5;0;0) - можно взять любую, лежащую на этой оси.
Тогда имеем:
|X-Xo Xp-Xo Xm-Xo| |X 5 3 |
|Y-Yo Yp-Yo Ym-Yo | =0. => |Y 0 -1| =0 => X*0 -Y*(-5) +Z*(-5) =0.
|Z-Zo Zp-Zo Zm-Zo | |Z 0 -1|
Это уравнение общего вида с коэффициентами
А1=0, В1= -5, С1= -5 и D1=0.
Вектора нормалей этих плоскостей n1{A;B;C} и n1{A1;B1;C1} или
n1{1;1;0} и n1{0;-5;-5}.
Искомый угол между плоскостями найдем по формуле:
Cosα =|0+(-5)+0|/(√(1+1+0)*√(0+25+25)) =5/(√2*√50) =1/2.
Угол α = arccos(1/2) = 60°.