Прямоугольная трапеция ABCD, AB - высота, O - центр вписанной окружности, СD делится точкой касания M на отрезки CM = 4; DM = 25; CO и DO - биссектрисы смежных углов при параллельных AD и BC и секущей CD. Поэтому они перпендикулярны, и треугольник COD - прямоугольный. OM - высота к гипотенузе в этом прямоугольном треугольнике COD. Треугольники COM, DOM и COD подобны, поэтому CM/OM = OM/DM; OM^2 = CM*DM = 25*4 = 100; OM = 10; Поскольку вписанная окружность касается параллельных оснований, то расстояние между этими параллельными, то есть - высота трапеции, равна диаметру окружности. ответ AB = 20;
Проведем высоту BN. Т.к он равнобедеренный, то AN=NC=2корня из 3. Рассмотрим треугольник АВN. Угол А=30 градусов(180-120):2), угол АNB=90, значит АВN=30. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Т.к гипотенуза неизвестна, то пусть этот катет х, а гипотенуза=2х. Найдем их по теореме Пифагора. х^2+(2корня из3)^2=4х^2 3х^2=12 х^2=4 х=2-катет,это высота, а гипотенуза равна 4-это сторона АВС Найдем площадь S=1/2ah S=1/2*2*4корня из 3=4корня из 3 площадь АВС. Рассмотрим треугольник МВН. МН-расстояние между серединами сторон, значит это средняя линия, и треугольник МВН подобен АВС. Рассмотрим МВО, О-середина МН. В нем такие же углы, как и в АВС, значит МВ=2, а ВО=1. Найдем катет ВО, он же высота в МВО. х^2+1^2=2^2 х=корень из 3, значит МН=2 корня из 3 Найдем площадь МВН. S=1/2ah=1/2*2корня из3*1=корень из3. S ABC/S MBH=4корня из 3/корень из 3=4. Пусть расстояние между АМ и НС-отрезок FD, их середина Т. Рассмотрим FBD.
CO и DO - биссектрисы смежных углов при параллельных AD и BC и секущей CD.
Поэтому они перпендикулярны, и треугольник COD - прямоугольный.
OM - высота к гипотенузе в этом прямоугольном треугольнике COD. Треугольники COM, DOM и COD подобны, поэтому
CM/OM = OM/DM; OM^2 = CM*DM = 25*4 = 100; OM = 10;
Поскольку вписанная окружность касается параллельных оснований, то расстояние между этими параллельными, то есть - высота трапеции, равна диаметру окружности.
ответ AB = 20;