Это хоть на задачи похоже.
4. Центры окружностей образуют равнобедренный треугольник со сторонами
24 + 15 = 39 (это две боковые стороны) и 15 + 15 = 30 (это основание). Высота к основанию легко находится, поскольку вместе с половиной основания 15 и боковой стороной 39 образует прямоугольный треугольник (15, 36, 39) (Пифагорова тройка). Высота равна 36.
Центр "внутренней" окружности расположен на этой высоте, пусть его радиус r. Расстояния от него до вершин (центров остальных окружностей) равны 15 + r, 15 + r, 24 + r. Поэтому расстояние от этого центра до основания (линии центров окружностей радиуса 15) равно 36 - (24 + r) = 12 - r;
Отсюда (15 + r)^2 = 15^2 + (12 - r)^2; 2(15 + 12)r = 12^2; r = 72/27;
5. Если продлить сторону квадрата, из вершины которой выходит касательная, до ВТОРОГО пересечения с окружностью, и обозначить эту хорду х, то
2^2 = 1(x+1); x = 3;
в результате имеются две взаимно перпендикулярные хорды длины 1 и 3, ясно, что отрезок, соединяющий их НЕ ОБЩИЕ концы - диаметр, то есть
D^2 = 1^2 + 3^2 = 10; R^2 = 5/2;
2. Если обозначить H - высота трапеции ABCD, h - высота трапеции MNCB, m = MN; a = AD; b = BC; то
(m + b)h = (a + b)H/2;
(m + a)(H - h) = (a + b)H/2;
(Это все потому, что площади трапеций NMCB и ADMN равны половине площади ABCD)
Пусть x = h/H; тогда
(m + b)x = (a + b)/2;
(m + a)(1 - x) = (a + b)/2;
Складывая оба уравнения, легко находим
x = (m - b)/(a - b);
m^2 = (a^2 + b^2)/2;
подставляем числа из условия, получаем m = 5;
1. Площадь ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ABMN равна 7*8/2 = 28;
Если обозначить AC = b; BC = a, то
Площадь треугольника АВС равна S = absin(C)/2
Площадь треугольника MNС равна (a/2)b(1-0,4)sin(C)/2 = 3S/10;
Поэтому площадь ABMN равна 7S/10 = 28; откуда S = 40;
3. самая прикольная задачка.
Пусть CD = b; СЕ = a;
Теорема синусов для тр-ка ADC (Ф - угол ВАС)
b/sinФ = AD/sin30 = 2; b = 2sinФ;
Теорема синусов для тр-ка ACE
a/sinФ = AE/sin120 = 2√3; a = 2√3sinФ;
Треугольник DCE прямоугольный, с гипотенузой DE =2;
a^2 + b^2 = 4;
Откуда sinФ = 1/2; отсюда сразу следует, что треугольник АСЕ равнобедренный с углом при вершине 120 (при основании - два угла по 30). Но это в решении не пригождается, так как h - высоту АВС, то есть расстояние от С до АВ, проще всего найти из треугольника CDE
ab = 2h; но уже найдены b = 1 и а = √3; поэтому h = √3/2;
площадь АВС равна (√3/2)*(4√3)/2 = 3.
По одному из свойств касательных, проведённых из одной точки, отмеченные лучи являются биссектрисами углов ∠CBА и ∠EDC соответственно; если углы ∠АВС и ∠CDЕ являются равными, то и образованные биссектрисами углы тоже равны (∠ЕDО=∠ОDС=∠СВО=∠ОВА); получаем ΔDОВ с равными углами ∠ОDВ=∠DВО; что значит, что ΔDОВ - равнобедренный; DO=ВО;
Радиус, проведённый в точку касанияПо свойству такого радиуса проведённый отрезок ОС будет перпендикулярен прямой ВD; те OC - высота ΔDOВ; по свойству равнобедренного треугольника OC является и медианой; значит, СD=СВ;
Отрезки касательныхПо свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки ВС, ВА и DC, DЕ касательных попарно равны (те ВС=ВА и DC=DЕ); мы доказали, что DС=ВС; значит, ВС=ВА=DC=DЕ, ч.и.т.д.
№2Обратные теоремы действенны - нужно доказать тоже самое, только в обратную сторону. Поэтому напишу вкратце.
Если АВ=ВС=CD=DЕ, то при ОС⊥ВD ОВ=ОD (св-ва р/б Δ); тогда при ∠ОDВ=∠DВО и биссектрисах DO и ВО (∠ЕDО=∠ОDС и ∠СВО=∠ОВА) ∠ЕDО=∠ОDС=∠СВО=∠ОВА, ч.и.т.д.