На основании принятой системы координат определяем координаты точек, лежащих на заданных плоскостях и по ним находим уравнения плоскостей.
E(1; 0; 0,5), F(1; 0,5; 0), D(0; 0; 0).
Плоскость EFD:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xE y - yE z - zE
xF - xE yF - yE zF - zEA
xD - xE yD - yE zD - zE
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 1 y - 0 z - 0,5
1 - 1 0,5 - 0 0 - 0,5
0 - 1 0 - 0 0 - 0,5
= 0
x - 1 y - 0 z - 0,5
0 0,5 -0,5
-1 0 -0,5
= 0
( x - 1) 0,5·(-0,5)-(-0,5)·0 - (y - 0) 0·(-0,5)-(-0,5)·(-1) + (z - 0,5) 0·0-0,5·(-1) = 0
(-0,25) x - 1 + 0,5 y - 0 + 0,5 z - 0,5 = 0
- 0,25x + 0,5y + 0,5z = 0
EFD : x - 2y - 2z = 0.
A₁(1; 0; 1), D₁(0; 0: 1), M(1; 1; 0,5).
Плоскость A1D1M:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA1 y - yA1 z - zA1
xD - xA1 yD - yA1 zD - zA1
xM - xA1 yM - yA1 zM - zA1
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 1 y - 0 z - 1
0 - 1 0 - 0 1 - 1
1 - 1 1 - 0 0,5 - 1
= 0
x - 1 y - 0 z - 1
-1 0 0
0 1 -0,5
= 0
(x - 1) 0·(-0,5)-0·1 - (y - 0) (-1)·(-0,5)-0·0 + (z - 1) (-1)·1-0·0 = 0
0 x - 1 + (-0,5) y - 0 + (-1) z - 1 = 0
- 0,5y - z + 1 = 0
A1D1M: - y - 2z + 2 = 0.
Вычислим угол между плоскостями
x - 2y - 2z = 0 и
- y - 2z + 2 = 0
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²))
cos α = |1·0 + (-2)·(-1) + (-2)·(-2)| /(√(1² + (-2)² + (-2)²)*√(0² + (-1)² + (-2)²)) =
= |0 + 2 + 4| /(√(1 + 4 + 4)*√(0 + 1 + 4)) =
= 6/(√9*√5) = 6 /√45 = 2√5/5 ≈ 0,8944272.
α = 26,56505°
Примем АМ=МС=y
Примем КМ=х, тогда ВМ=х+1
По т.косинусов
АВ²=ВМ²+АМ²-2•ВМ•АМ•cos(BMA)
KC²=KM²+MC²-2•KM•MC•cos(KMC)
Угол ВМС смежный углу ВМА и равен 180°-45°=135°
cos 45°=√2/2
cos135°= -√2/2
Подставим в уравнения принятые значения отрезков:
АВ²=(х+1)²+у²-2•[(х+1)•у√2]/2
АВ²=х²+2х+1+у² -ху√2-y√2⇒
AB²=х²+у²+2х+1-ху√2-y√2 (1)
КС²=х²+у²-2ху•(-√2/2)
KC²=x²+y²+xy√2 (2)
По условию АВ=КС => уравнение 1=уравнению 2
Вычтя из уравнения (2) уравнение (1), получим
0=ху√2-2х-1+ху√2+y√2 =>
(2xy√2+y√2) - (2х+1)=0
y√2(2x+1)-(2x+1)=0
Сократим на (2х+1)
y√2-1=0
y√2=1 =>
y=1/√2
AC=2y=2/√2=√2
В тр-ке ABC: AC=CB=10см, угол а=30 градусов, BK- перпендикуляр у плоскости треугольника и равен 5 см найти расстояние от K до AC
рассмотрим образованную пирамиду АВСК, КВ перпендикулярно АВС, значит нам необходимо найти длину высоты, опущенной в грани АСК из вершины К на АС, По теореме о трех перпендикулярах ее проекция на плоскость АВС будет перпендикулярна АС. Обозначим точку пересечения высоты с АС через Н. Тогда нужно найти КН.
рассмотрим основание пирамиды - треугольник АВС, Он равнобедренный ас=ВС=10 с углом у основания А=30 градусов. Опустим высоту из вершины треугольника С на АВ - СМ. Высота, опущенная из точки С, будет и биссектрисой, и медианой треугольника. То есть АМ=МВ. Треугольник АСМ - прямоугольный, с одним из осмтрых углов = 30 градусов, значит катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы: АМ=1/2*АС, АМ=1/2*10=5 (см). По теореме Пифагора найдем второй катет СМ:
CM=sqrt(AC2-AM2)
CM=sqrt(100-25)=sqrt75=5sqrt3
BH- проекция КН на плоскость основания АВС, и, как было уже отмечено, ВН перпендикулярна АС. Рассм отрим треугольники АНВ и АМС- они подобны:
АН/АМ=НВ/МС=АВ/АС
НВ/МС=АВ/АС
НВ=МС*АВ/АС
НВ=5*(2*5sqrt3)/10=5sqrt3
Треугольник КНВ - прямоугольный (КВ перпендикулярно плоскости АВС). По теореме Пифагора найдем КН:
KH2=KB2+HB2
KH=sqrt(25+75)=sqrt100=10 (см)