Возьмём треугольник ABC ( угол В=90 градусов), в котором ВН -высота, ВM - медиана
Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, соответственно ВM = АM=CM=41 см.
В треугольнике ВНM найдём НM по теореме Пифагора:
НM=√(41²-40²)=√(1681 - 1600) = 9 см.
3)тогда AН = AM - НM =41 - 9 = 32 см.
Тогда сторона АВ по теореме Пифагора равна:
АВ=√(40² + 32²)=√(1600 + 1024) = √2624 = 8√41 см.
Аналогично сторона ВС равна:
ВС = √(82² - (8√41²) = √(6724 - 2624) = √4100 = 10√41 см.
Теперь все стороны треугольника АВС известны, биссектрису ВК в нём из вершины В можно найти несколькими
Можно применить готовую формулу:
ВК = (2/(а + с)*√(аср(р - в)). Здесь полупериметр р = 98,628118 см.
Подставив данные, получим ВК = 40,246156 см.
Можно по теореме косинусов.
Тангенс угла С равен (8√41 /10√41 ) = 4/5.
Косинус С = 1/(√(1 + (4/5)²) = 5/√41.
Находим СК по свойству биссектрисы АВ/АК = ВС/СК.
СК/10√41 = (82 - СК)/8√41.
Отсюда находим СК = (410/9) см.
Тогда биссектриса ВК равна:
ВК = √((10√41)² + (410/9)² - 2*(10√41)*(410/9)*(5/√41 ) = 40,24616 см.
Решение.
По Пифагору найдем второй катет основания призмы:
√(15²-12²)=√(27*3)=9см.
Следовательно, больший катет равен 12см и высота призмы равна 12см (так как боковая грань - квадрат 12х12 - дано).
Площадь боковой поверхности призмы равна Sб=P*h, где Р - периметр, а h - высота призмы.
Sб=36*12=432см².
2) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ.
Решение.
Условие для однозначного решения не полное.
Во-первых, не понятно условие "Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2".
Проходящее - содержащее это ребро или пересекающее его?
Раз сечение делит ребро в отношении 1:2, значит плоскость пересекает это ребро и делит его в отношении 1:2, но считая от какой вершины?
Во вторых, таких сечений может быть бесконечное множество, так как плоскость, параллельная прямой АВ, может пересекать тетраэдр в любом направлении. Например, параллельно грани АВS (сечение MNP) или проходящее через точку Q на ребре AS (сечение MQDN).
Причем линия пересечения грани АSB и плоскости сечения будет параллельна ребру АВ.
Вывод: однозначного решения по задаче с таким условием нет.