Объяснение:
Пусть дан ΔАВС, В - вершина треугольника, АС - основание ΔАВС,
АВ =ВС, ∠А и ∠С - углы при основании.
1) Внешний угол при вершине равнобедренного ΔАВС (обозначим его как β) и внутренний ∠В - смежные углы, и их сумма равна 180° .
Значит, внешний угол β = 180° - ∠В.
2) сумма углов треугольника = 180 °. Следовательно ,
∠А + ∠ В + ∠С = 180°, откуда ∠ В = 180° - ∠А - ∠С, но т.к. ΔАВС - равнобедренный, и значит, ∠А = ∠С, получаем:
∠ В = 180° - 2∠А
Подставим это выражение в формулу для внешнего угла β, получим:
β = 180° - 180° +2∠А
β= 2∠А, ч. т. д.
См. Объяснение
Объяснение:
№ 1
1) Равные углы:
∠2 =∠10 - как углы соответственные;
∠3 = ∠8 - как углы соответственные;
∠6 = ∠9 - как углы вертикальные;
∠7 = ∠10 - как углы вертикальные;
∠8 = ∠5 - как углы вертикальные.
2) Суммы следующих углов равны 180°:
∠8 +∠9+∠10 = 180° - так как 3 этих угла образуют развёрнутый угол;
∠9 +∠10+∠5 = 180° - так как 3 этих угла образуют развёрнутый угол;
∠7 +∠6+∠5 = 180° - так как 3 этих угла образуют развёрнутый угол;
∠6 +∠8+∠9 = 180° - так как 3 этих угла образуют развёрнутый угол;
∠1 +∠2 = 180° - так как 2 этих угла образуют развёрнутый угол;
∠3 +∠4 = 180° - так как 2 этих угла образуют развёрнутый угол.
3) Из приведённых рассуждений о равенстве углов следует доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника.
Приведём это доказательство.
Дан треугольник, внутренние углы которого ∠2, ∠ 3 и ∠6.
Необходимо доказать, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то есть ∠2 + ∠ 3 +∠6 = 180°.
Для доказательства через вершину ∠6 проведём прямую а, параллельную прямой b, и продолжим стороны треугольника за линию а. Рассмотрим образовавшиеся углы ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, ∠9, 10.
∠2 = ∠10 - как углы соответственные при параллельных прямых a и b и секущей (1-9);
∠3 = ∠8 - как углы соответственные при параллельных прямых a и b и секущей (9-4);
∠6 = ∠9 - как углы вертикальные.
∠8 +∠9+∠10 = 180° - так как 3 этих угла образуют развёрнутый угол,
при этом ∠8 =∠3, ∠9 = ∠6, ∠10 = ∠2, - значит, в приведённом равенстве:
∠8 можно заменить на ∠3,
∠9 можно заменить на ∠6,
∠10 можно заменить на ∠2.
Получаем:
∠3 +∠6+∠2 = 180°, что и требовалось доказать.
Таким образом, сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
№ 2
Да, можно утверждать, что величина ∠ 1 = ∠3 + ∠6.
1) ∠1 - это внешний угол по отношению к данному треугольнику;
2) ∠1 является смежным с ∠2, значит их сумма равна 180°:
∠2 + ∠1 = 180°
3) Так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то:
∠2 + ∠3 + ∠6 = 180°
4) Сравним два полученных равенства:
∠2 + ∠1 = 180° - равенство, приведённое в пункте 2;
∠2 + ∠3 + ∠6 = 180° - равенство, приведённое в пункте 3.
Можно заметить, что к одному и тому же ∠2 прибавляем в первом случае ∠1, а во втором случае - ∠3 и ∠6, и в обоих случаях получаем один и тот же ответ: 180°.
Это возможно только тогда, когда:
∠ 1 = ∠3 + ∠6.
Мы доказали, что Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с данным внешним углом.
∠С = ∠C1, ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1
ВО = ОС = В1О1 = О1С1, т.к. АО и А1О1 — медианы, и ВС = В1С1.
В ΔАОС и ΔА1О1С1: АС = А1С1, ОС = О1С1, ∠С = ∠С1. Таким образом, ΔАОС = ΔА1О1С1 по 1-му признаку, откуда АО = А1О1. 2)Т.к. ΔАВС = ΔA1B1C1, то: AC = А1С1, ∠A = ∠А1, ∠С = ∠С1.
∠BAK = ∠KAC = ∠B1A1K1 = ∠K1A1C1, т.к. AK и A1K1 — биссектрисы равных углов.
В ΔAKC и ΔA1K1C1: АС = А1С1, ∠С = ∠С1, ∠KAC = ∠K1A1C1. Таким образом, ΔAKC = ΔA1K1C1 по 2-му признаку равенства треугольников.
Откуда AK = A1K1.