1)
Радиус вписанной окружности правильного многоугольника совпадает с его апофемой (т.е. перпендикуляром, опущенным из центра на любую сторону)
Правильный шестиугольник можно разделить на 6 правильных треугольников. Его площадь равна площади 6 таких треугольников и S(шестиугольника)=6•S (треуг)
Нам известен радиус вписанной в шестиугольник окружности, т.е. высота правильного треугольника АОВ (см. рисунок). Для нахождения площади правильного треугольника воспользуемся формулой
Тогда 
дм²
––––––––––
2)
По условию 
Примем коэффициент отношения радиусов окружностей равным а. Тогда радиус первой равен 5а, второй –3а
5a-3a=40⇒
a=20 см
r1=100 см=1м
S1=π•1²=π м²
60 см=0,6 м
S2=π•(0,6)²=0,36 м²
–––––––––––
3)
Найдите площадь сегмента круга, радиуса 4 см, если его хорда равна 4√2 см
Пусть центр круга О, хорда - АВ.
АО=ВО ⇒∆ АОВ - равнобедренный
По т.косинусов АВ²=АО²+ВО²- 2АО•ВО•cos∠AOB
32=2•16-2•16•cosAOB⇒
cos AOB=0, ⇒ ∠АОВ=90°.
Площадь искомого сегмента равна разности площадей сектора с углом 90° и прямоугольного ∆ АОВ.
Градусная мера полного круга 360°, значит, площадь сектора с углом 90°=1/4 площади круга
S сектора=16π:4=4π
S ∆ АОВ=4•4:2=4•2
S сегм=4π-4•2=4(π-2)= ≈4,566 см²
4)
Отношения отрезков сторон треугольника АВС, на которые их делят данные точки, одинаковы.
Примем коэффициент отношения отрезков сторон равным а.
Тогда АВ=7а.
Треугольники у вершин подобны треугольнику АВС, т.к. имеют общую вершину и стороны исходного треугольника пропорциональны сторонам треугольников, «отсекаемых» от него у вершин, с коэффициентом подобия 7:2, Поэтому эти отсекаемые треугольники равновелики.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
k=АВ:ВК=7:2 ⇒
S (ABC):S(BKM)=k²= 49/4
245:S(BKM)=49:4⇒
S(Δ BKM)=20
S(ТКМОНР)=245-3•20=185 мм²
В Δ OPN
∠O=70°
∠P=90°
∠N=20°
Объяснение:
План решения:
1. доказывем,что ΔOPN - прямоугольный (∠P=90°)
2.нахoдим угол ∠ONK
3. от ∠ONK отнимаем заданный в условии ∠PNK и получам ∠N (в Δ ONP).
4. два угла найдены, находим ∠ O=90°- ∠ N (в Δ ONP).
Решение.
1. Определим, чему равен ∠ OPN. Для чего проведем радиус в точку M.
Рассмотрим Δ MON. Этот треугольник - равнобедренный с основанием [MN], и боковыми сторонами [OM] и [ON] (т.к.l ON l = l OM l, как радиусы окружности).
Итак в равнобедренном Δ MON на основание опущена медиана [OP] (по условию l MP l=l NP l). а у равнобедренного треугольника медиана, опущенная на основание совпадает и с бисектриссой и с высотой (свойства равнобедренных треугольников)! А раз [OP] - это и высота, то ∠ OPN = ∠ OPM = 90 ° (по определению высоты треугольника). Значит ΔONP и ΔKNP - прямоугольные!
2. Теперь рассмотрим прямоугольный Δ KNP. Его углы:
∠ KNP =35° (по условию), ∠ KPN =90°, следовательно
∠ PKN=180°-90°-35°=55°.
3. Теперь рассмотрим Δ KNO. Этот треугольник равнбедренный с боковыми сторонами [OK] = [ON] , как радиусы окружности. В этом равнобедренном треугольнике угол при основании ∠ OKN = ∠ PKN (отрезок [PO]l ∈ [OK] - т.е. это один и тот же угол). Следовательно ∠ ONK = ∠ OKN = ∠ PKN = 55° (углы при основании равнобедренного треугольника).
А ∠ ONK= ∠ KNP + ∠ ONP;
∠ ONP = ∠ ONK - ∠ KNP
∠ ONP = 55° - 35° =20°;
4. И наконец рассмотрим Δ ONP.
В нем угол ∠P =90°. ∠ONP=20°.Следовательно
∠PON = 180° - 90° - 20° = 70°. Все.