Докажем сначала следующее вс утверждение. Геометрическое место точек X, лежащих внутри трапеции ABCD (BC || AD) или на её сторонах, и таких, что S$\scriptstyle \Delta$XAB = S$\scriptstyle \Delta$XCD, есть отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.
Действительно, пусть P и Q — середины оснований BC и AD трапеции ABCD, h - высота трапеции . Если точка X принадлежит отрезку PQ, то XP и XQ — медианы треугольников BXC и AXD, поэтому
Кроме того,
SABPQ = $\displaystyle {\frac{BP + AQ}{2}}$ . h = $\displaystyle {\frac{CP + DQ}{2}}$ . h = SCPQD.
Следовательно, S$\scriptstyle \Delta$XAB = S$\scriptstyle \Delta$XCD.
Пусть теперь X — точка внутри трапеции ABCD, для которой S$\scriptstyle \Delta$XAB = S$\scriptstyle \Delta$XCD (рис.2). Предположим, что X не лежит на прямой PQ. Поскольку S$\scriptstyle \Delta$XBP = S$\scriptstyle \Delta$XCP и S$\scriptstyle \Delta$XAQ = S$\scriptstyle \Delta$XDQ, то
SABPXQ = SCPXQD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$SABCD.
Если точки X и C лежат по одну сторону от прямой PQ, то
$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$SABCD = SABPQ + S$\scriptstyle \Delta$PXQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$SABCD + S$\scriptstyle \Delta$PXQ,
что невозможно. Аналогично для случая, когда точки X и C лежат по разные стороны от прямой PQ.
Пусть теперь ABCDEF — данный шестиугольник; AB || DE, BC || EF, CD || AF. Докажем, что треугольники ACE и BDF равновелики. В самом деле, пусть прямые AB и EF пересекаются в точке M, прямые AB и CD — в точке N, прямые CD и EF — в точке K (рис.2). Обозначим
$\displaystyle {\frac{MA}{MN}}$ = x, $\displaystyle {\frac{NC}{NK}}$ = y, $\displaystyle {\frac{KE}{KM}}$ = z.
Тогда
S$\scriptstyle \Delta$AME = x(1 - z)S$\scriptstyle \Delta$MNK, S$\scriptstyle \Delta$ANC = y(1 - x)S$\scriptstyle \Delta$MNK, S$\scriptstyle \Delta$CKE = z(1 - y)S$\scriptstyle \Delta$MNK.
Поэтому
S$\scriptstyle \Delta$ACE = S$\scriptstyle \Delta$MNK - S$\scriptstyle \Delta$AME - S$\scriptstyle \Delta$ANC - S$\scriptstyle \Delta$CKE =
= (1 - x(1 - z) - y(1 - x) - z(1 - y))S$\scriptstyle \Delta$MNK = (1 - x - y - z + xy + xz + yz)S$\scriptstyle \Delta$MNK.
Учитывая, что
$\displaystyle {\frac{MF}{MK}}$ = $\displaystyle {\frac{MA}{MN}}$ = x, $\displaystyle {\frac{NB}{NM}}$ = $\displaystyle {\frac{NC}{NK}}$ = y, $\displaystyle {\frac{KD}{KN}}$ = $\displaystyle {\frac{KE}{KM}}$ = z
(что вытекает из параллельности противоположных сторон данного шестиугольника), аналогично получим, что
S$\scriptstyle \Delta$BDF = (1 - x - y - z + xy + xz + yz)S$\scriptstyle \Delta$MNK.
Следовательно, S$\scriptstyle \Delta$ACE = S$\scriptstyle \Delta$BDF.
Пусть P, G, Q, H — середины отрезков AF, AB, CD и DE соответственно; O — точка пересечения отрезков PQ и GH (рис.3). Тогда, по ранее доказанному,
S$\scriptstyle \Delta$AOC = S$\scriptstyle \Delta$DOF, S$\scriptstyle \Delta$AOE = S$\scriptstyle \Delta$BOD, S$\scriptstyle \Delta$ACE = S$\scriptstyle \Delta$BDF.
Поэтому
S$\scriptstyle \Delta$BOF = S$\scriptstyle \Delta$BDF - S$\scriptstyle \Delta$DOF - S$\scriptstyle \Delta$BOD =
= S$\scriptstyle \Delta$ACE - S$\scriptstyle \Delta$AOC - S$\scriptstyle \Delta$AOE = S$\scriptstyle \Delta$OCE.
Следовательно, точка O принадлежит отрезку, соединяющему середины сторон BC и EF.
Другие решения: см. Квант, N5, 1986, с.33
Объяснение:
2. 5 см.
3. 8 см, 18 см.
4. 7 см.
Объяснение:
"2. Периметр трапеции равен 22см, но и боковые стороны - 4см и 8см. Найти среднюю линию трапеции.
3. Одна из основ трапеции на 10см меньше за вторую, а ее средняя линия равен 13см. Найдите основы трапеции,
4. Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла. Найти боковую сторону трапеции, если основы равны 7см и 15см."
***
2. Р ABCD=AB+BC+CD+AD=22 см.
4+BC+8+AD=22;
BC+AD=22-12=10;
MN=(BC+AD)/2 =10/2=5 см.
***
3. Пусть одно из оснований трапеции равно BC= х см. Тогда второе основание равно AD= х-10 см.
Средняя линия трапеции MN=(BC+AD)/2=13;
(x+x-10)/2=13;
2x-10=26;
2x=36;
ВС=x=18 большее основание;
AD=x-10=18-10=8 см - меньшее основание.
***
4. ∠BAC=CAD=∠BCA, как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей АС. Следовательно Δ АВС равнобедренный и стороны АВ=CD=ВС=7 см.