Даны треугольники АВС и А1В1С1 в которых стороны АС и А1С1, высоты ВН и В1Н1 и медианы ВМ и В1М1 равны.
Прямоугольные треугольники НВМ и Н1В1М1 равны по 4-му признаку равенства, так как у них гипотенузы (ВМ и В1М1) и катеты (ВН и В1Н1) равны (дано). => HM=H1M1 и <BMH=<B1M1H1. Значит равны и углы ВМС и В1М1С1 как смежные с равными.
АМ=МС=А1М1=М1С1 как половины равных отрезков АС и А1С1.
Треугольники АВМ и А1В1М1 равны по двум сторонам (АМ=А1М1, ВМ=В1М1) и углу между ними (<BMH=<B1M1H1 - доказано выше) => АВ = А1В1.
Треугольники ВМС и В1М1С1 равны по двум сторонам (МС=М1С1, ВМ=В1М1) и углу между ними (<BMС=<B1M1С1 - доказано выше) => ВС = В1С1.
Тогда треугольники АВС и А1В1С1 равны по трем сторонам, что и требовалось доказать.
Объяснение:
1. См. рис.1. Найти отрезок КР. КР = МН – МК – РН.
Т.к. МН – средняя линия трапеции, то МК и РН – средние линии треугольников АВС и ДВС. У этих треугольников общее основание ВС. Следовательно МК = РН = ВС/2 = 8/2 = 4 см. Т.к. МН – средняя линия трапеции , то МН = (АД+ВС)/2 = (16 + 8)/2 = 12 см. Таким образом, КР = 12 -4 -4 = 4 см.
2. См. рис.2. Синие линии нужны для объяснения принципа построения. При построении требуемой прямой их, естественно, не будет.
Внутри угла А поставлена точка М. Через эту точку проведена прямая, пересекающая лучи «а» и «е» в точках С и В соответственно. Если эта линия будет проведена правильно, то в получившемся треугольнике АСВ МА будет медианой, поскольку должно выполниться условие СМ = МВ. Медиана делит площадь треугольника пополам. Т.е. площадь треугольника АВМ должна равняться площади треугольника АМС. Значит, площадь треугольника АВС должна равняться двум площадям треугольника АВМ. Эти треугольники (АВС и АВМ) имеют общее основание АВ. Отсюда следует, что высота РС треугольника АВС должна быть в два раза больше высоты МК треугольника АВМ. Вот это обстоятельство и необходимо использовать при построении. Теперь забыли про синие линии. Их нет.
Из точки М опустим перпендикуляр (МК) на любой из лучей угла, например, на луч «е». Затем проведем прямую параллельно лучу «е» на расстоянии СР = 2МК. Пересечение этой прямой с лучом «а» даст точку С. Проведя прямую через точки М и С построим требуемую линию.
3. См. рис. 3. Требуемое условие будет выполняться, если НК будет параллельна АС. Опять же синяя линия для объяснения принципа. Если НК параллельна АС то треугольники АВД и НВЕ подобны. Так же подобны и треугольники СДВ и КЕВ. Для первой пары подобных треугольников ВД/АД = ВЕ/НЕ. Для второй пары ВД/СД = ВЕ/ЕК. Из этих двух соотношений вытекает, что АД/ДС = НЕ/ЕК. А поскольку АД = ДС, то и НЕ = ЕК. Таким образом, что бы выполнилось требуемое условие НК должен быть параллелен АС.