Пусть трапеция будет ABCD,AB=2,3 см; DC = 7,1 см; <C=45*. Проведем высоту BH, параллельную AD. Рассмотрим четырехугольник ABHD. Он - прямоугольник по признаку, так как <A,<D,<H - прямые. Имеем, что AB = DH = 2,3 см.Получаем, что НС = DC - AB = 7,1 - 2,3 = 4,8 (см) - из аксиомы 3.1. В треугольнике HBC <B = 45* из теоремы о сумме углов треугольника. Значит, так как <B = <C, то по признаку равнобедренного треугольника HBC - равнобедренный. Отсюда следует, что HB=HC = 4,8 см ответ: 4,8 см
Рассмотрим ∆АВD.
P – середина АВ по условию;
Т – середина АD по условию;
Следовательно РТ – средняя линия ∆ABD. Средняя линия треугольника вдвое меньше стороны треугольника, которой она параллельна.
PT//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
Тогда РТ=0,5*BD=0,5*8=4 см
Рассмотрим ∆BCD.
Q – середина СВ по условию;
R – середина CD по условию;
Следовательно QR – средняя линия ∆BCD. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна.
QR//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
Тогда QR=0,5*BD=0,5*8=4 см.
PT//BD и QR//BD => РТ//QR.
РТ=4 см; QR=4 см => РТ=QR.
Тогда получим что, две противоположные стороны четырехугольника PQRT параллельны и равны, следовательно четырехугольник PQRT – параллелограмм.
Рассмотрим ∆PBQ u ∆ABC.
Угол АВС – общий;
Так как точка Р – середина АВ, то РВ равна половине АВ
Следовательно РВ/АВ=1/2;
Так как точка Q – середина СВ, то QB равно половине СВ
Тогда QB/CB=1/2;
Исходя из найденного, ∆PBQ~∆ABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, а коэффициент подобия треугольников 1/2.
Следовательно PQ/AC=1/2;
2/AC=1/2;
AC=2*2
AC=4 см.
ответ: Параллелограмм; РТ=4 см; АС=4 см.