Две стороны треугольника равны 7см и √75, а угол, противолежащий большей из них, равен 60 градусов. Найдите третью сторону и другие углы этого треугольника.
Угол с равен 120 градусов и треугольник авс равнобедренный, то углы а и в равны между собой и равны 30 градусам (сумма углов треугольника равна 180 градусов) высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, получается, что ан = вн = 6см косинус угла в 30 градусов равен корню из 3/2 косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе, т. е. вн / вс = корень из 3/2 зная вн, можем найти вс (гипотенузу) вс = 6 / (корень из 3 / 2) (под корнем только 3) по теореме пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т. е. вс2 = вн2 + сн2 зная вс и вн, можем найти сн (собственно, высоту) сн2 = вс2 - вн2 сн2 = (6 / (корень из 3 / 2))2 - (6 в квадрате) сн2 = (12 / корень из 3)2 - 36 сн2 = 144/3 - 36 сн2 = 48 - 36 сн2 = 12 сн = корень из 12
Доказать, что АДОЕ - ромб. В тр-ках ДАО и ЕАО АО - общая сторона, нужно доказать, что они равнобедренные. Опустим высоты ОК и ОМ на стороны АВ и АС соответственно. Высоты равны радиусу описанной окружности. В тр-ках АКО и АМО КО=МО, АО - общая сторона и оба прямоугольные, значит они равны , значит ∠КАО=∠МАО ⇒ ∠ДАО=∠ЕАО. Так как ДО║АЕ, а АО - секущая, то ∠ДАО=∠АОЕ и ∠ЕАО=∠ДОА, значит ∠ДАО=∠ДОА и ∠ЕАО=∠ЕОА, следовательно тр-ки АДО и ЕАО равнобедренные и равны (АО - общая, см. выше). Вывод: АД=ДО=ОЕ=ЕА. Доказано.
ответ
√75 > √49, поэтому угол В напротив большей стороны.
Проведем высоту к искомой стороне. В прямоугольном треугольнике АВЛ известна гипотенуза и прилежащий угол. Найдем катет ВЛ.
ВЛ = 7 * cos 60° = 7 * 1/2 = 3,5 см.
угол ВАЛ = 180° - (90° + 60°) = 180° - 150° = 30°
АЛ = 7 * cos 30° = 7 * √3/2 - высота треугольника АВС.
Теперь рассмотрим треугольник АЛС. Найдем катет ЛС через теорему Пифагора.
(√75)² - (7 * √3/2)² = 75 - 49 * 3/4 = √38,25 = 6,18 см
ВС = ВЛ + ЛС = 3,5 + 6,18 = 9,68 см.