task/29635078 Дан параллелограмм ABCD , F – точка пересечения диагоналей , О – произвольная точка пространства. Доказать: 1) (OA) ⃗+(OC) ⃗=(OB) ⃗+ (OD) ⃗ ; 2) (OF) ⃗=1/4((OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗+(OD) ⃗) .
Решение : Если векторы исходят из одной точки , то вектор суммы исходит из общей начальной точки векторов и является диагональю параллелограмма, сторонами которого являются данные векторы . * * * ( Сумма векторов , правило параллелограмма ) * * *
1) (OA) ⃗+ (OC) ⃗ =2*(OF) ⃗ и (OB) ⃗+(OD) ⃗ = 2*(OF) ⃗
значит (OA) ⃗+ (OC) ⃗ = (OB) ⃗+(OD) ⃗
2) (1/4) * [ (OA) ⃗+(OB) ⃗+ (OC) ⃗+(OD) ⃗] =
(1/4) * [ (OA) ⃗+ (OC) ⃗+(OB) ⃗+(OD) ⃗] =
(1/4) * [ 2*(OF) ⃗+2*(OF) ] =
(1/4) * 4*(OF) ⃗ = (OF) ⃗ .
! Чтобы вложенный рис. соответствовал условию задачи "поменяем" названия вершин: С- это В, В- это С,Н - это D, М- это Е.
1) ВЕ- медиана, проведённая из вершины прямого угла,значит она равна половине гипотенузы или гипотенуза равна двум медианам ВЕ, т.е. АС=2ВЕ.
С другой стороны АС = 4 ВD, тогда 2BE = 4BD
BE = 2BD.
2) Из ΔВЕD- прям.:гипотенуза BE в 2 раза больше катета BD , тогда L BED = 30⁰.
3) Из ΔВЕС: ВЕ=ВС, следовательно ΔВЕС- равнобедр.
и LCBE= LC = (180⁰-30⁰)/2= 75⁰.
4)Из ΔАВС-прям.: L A= 90⁰-L C = 90⁰-75⁰ = 15⁰.
ответ: LA =15⁰, LC =75⁰.