Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника. ВМ - медиана тр-ка АВС, значит площадь Sabm=(1/2)*Sabc. AK - медиана тр-ка АВМ, значит Sabk=Sakm=(1/2)*Sabm=(1/4)*Sabc. Проведем MN параллельно ВС. Треугольники MNK и BPK равны по стороне и двум прилегающим к ней углам (<KBP=<KMN как внутренние накрест лежащие при параллельных MN и ВС и секущей ВМ, <BKP=NKM как вертикальные, а МК=КВ - дано). Из равенства этих треугольников ВР=MN. Но MN - средняя линия треугольника АРС и равна (1/2)*РС. Значит ВР/РС = 1/2. Площади треугольников АВР и АРС, имеющих одинаковую высоту, проведенную из вершины А к стороне ВС (сторонам ВР и РС) относятся как эти стороны. То есть Sabp/Sapc=1/2. Значит Sabp = (1/3)*Sabc. Sbkp = Sabp - Sabk = (1/3)*Sabc - (1/4)*Sabc = (1/12)*Sabc. Тогда Sbkp/Samk = [(1/12)*Sabc]/[(1/4)*Sabc] = 1/3. ответ: Sbkp/Samk = 1/3.
Без теоремы Чевы и следствий. Кому надо с ней - сами и делайте :) Пусть N лежит на АР так, что MN II BC. Тогда треугольники ВКР и MNK равны, поскольку у них равны все углы и ВК = КМ. Поэтому NK = KP, а поскольку NP = AP/2, то КР = АР/4; Далее, MN = PC/2; но ВР = MN; поэтому ВР = РС/2 = ВС/3; Теперь применяется (в массовом порядке :) ) известное свойство - если у треугольников высоты к каким-то сторонам равны, то площади относятся, как длины этих сторон. Если обозначить S площадь АВС, то площадь АРС равна S*2/3; Площадь АВМ равна S/2; а площадь АКМ (и - между прочим - площадь АВК) равна половине площади АВМ, то есть S/4; Окончательно, площадь KPCM равна S*2/3 - S/4 = S*5/12; а искомое отношение равно (S/4)/(S*5/12) = 3/5;
Проведем MN параллельно ВС. Треугольники MNK и BPK равны по стороне и двум прилегающим к ней углам (<KBP=<KMN как внутренние накрест лежащие при параллельных MN и ВС и секущей ВМ, <BKP=NKM как вертикальные, а МК=КВ - дано). Из равенства этих треугольников ВР=MN. Но MN - средняя линия треугольника АРС и равна (1/2)*РС. Значит ВР/РС = 1/2. Площади треугольников АВР и АРС, имеющих одинаковую высоту, проведенную из вершины А к стороне ВС (сторонам ВР и РС) относятся как эти стороны. То есть Sabp/Sapc=1/2. Значит Sabp = (1/3)*Sabc. Sbkp = Sabp - Sabk = (1/3)*Sabc - (1/4)*Sabc = (1/12)*Sabc. Тогда Sbkp/Samk = [(1/12)*Sabc]/[(1/4)*Sabc] = 1/3.
ответ: Sbkp/Samk = 1/3.