1.Побудуй довільний трикутник АВС ( не на координатній площині)
та трикутник А 1 В 1 С 1 , який є його образом, шляхом повороту
трикутника АВС проти годинникової стрілки на кут 120 градусів
навколо точки С.
2. Внаслідок повороту на 90 градусів проти годинникової стрілки
навколо початку координат відрізок АВ переходить у відрізок СD,
знайти координати точок С і D та середини відрізка СD, якщо А (2;0),
В(6;0).
3. Побудуйте прямокутну трапецію ABCD ( не на координатній
площині), та її образ при повороті за годинниковою стрілкою на 60
градусів навколо вершини трапеції - т.С
BN*CK*AM/(NC*KA*MB) = 1;
Если обозначить KC = p*AC; AM = q*BA; то
2*p*q/((1-p)*(1+q)) = 1; (1)
Треугольник CNK по условию имеет площадь 1/5 от площади ABC; (я считаю, что площадь BNKA в 4 раза БОЛЬШЕ площади CNK. Если наоборот, то положение точки K не может соответствовать условию - она будет вне треугольника.)
По условию NC = BC/3; поэтому расстояние от N до AC составляет 1/3 расстояния от B до AC. Отсюда (площадь CNK) = p*(1/3)*(площадь ABC); или
p/3 = 1/5; p = 3/5; p/(1 - p) = 3/2; если подставить это в (1)
q/(1 + q) = 1/3; q = 1/2;
То есть AM = BA/2;
Доказательство теоремы Менелая необыкновенно простое. Если провести какую-то прямую вне треугольника, так, чтобы она пересекалась с прямой NM в точке D где-то вне треугольника, потом провести через три вершины прямые параллельно NM, которые пересекут эту прямую в точках A2; B2; C2; (ну, в смысле AA2 II BB2 II CC2 II MN, и напомню, точка К - тоже на MN)
то
(BN/NC)*(CK/KA)*(AM/MB) = (B2D/DC2)*(C2D/DA2)*(A2D/DB2) = 1;
это всё доказательство. С учетом "знака", то есть "направления" отрезка, пишут обычно -1; тут при составлении равенств важно не запутаться в отрезках :)))