ответ: АК = СК = 5 см
Объяснение:
ВК⊥α, тогда АК и СК - проекции боковых сторон треугольника АВС на плоскость α.
Пусть Н - середина АС. Тогда ВН - медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит является и высотой,
ВН⊥АС,
КН - проекция ВН на плоскость α, значит КН⊥АС по теореме о трех перпендикулярах, тогда
∠ВНK = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью АВС и плоскостью α.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, АВ = √73 см, АН = АС/2 = 3 см,
по теореме Пифагора
ВН = √(АВ² - АН²) = √(73 - 9) = √64 = 8 см
ΔВКН: ∠ВКН = 90°,
cos∠BHK = KH / BH
KH = BH · cos∠BHК = 8 · 1/2 = 4 см
ΔАКН: ∠АНК = 90°, по теореме Пифагора
АК = √(КН² + АН²) = √(16 + 9) = √25 = 5 см
Если равны наклонные, проведенные из одной точки, то равны и их проекции:
СК = АК = 5 см
Рассмотрим ABCM:
1. ABCM - прямоугольная трапеция, т.к. угол AMC = 90.
Следовательно BCM = AMC = 90, по теореме о сумме углов четырехугольника найдем угол А:
угол А = 360 - угол В - угол ВСМ - угол АМС = 45
2. угол А = углу D, т.к. трапеция ABCD равнобедренная (АВ=CD по условию)
Значит треугольник MCD - равнобедренный, т.к. угол D = 45, CMD = 90, следовательно, по теорме о сумме углов треугольника угол MCD = 45, то есть CM = MD = 12 (по св-ву равнобедренного тр-ка)
3. Доп. построение - BH, BH ⊥ AD, угол AHB = 90
Рассмотрим тр-ки ABH и CMD
1) AB = CD
2) угол A = углу D
Значит ABH = CMD (по гипотенузе и острому углу)
значит AH = MD = 12
AD = AH + MD + HM = 12 + 12 + 10 = 34 (BC = HM, т.к. HBCM - прямоугольник)
S = 1/2 * CM * (BC + AD) = 1/2 * 12 * (10 + 34) = 264
ответ: 264