Question

Дан треугольник АВС, точки А( -2; 5),В( 4;-1 ), С(-2;3), точка М- середина АВ, точка К-середина АС.

Найдите: а) координаты точек М и К; б) длину медианы МС и КВ; в) длину средней линии МК; г) длины сторон треугольника АВС

Answer 1

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о серединах отрезков и формуле расстояния между двумя точками на плоскости.

а) Найдем координаты точки М - середины отрезка АВ:
Для этого найдем средние значения координат:
x_м = (x_а + x_в) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1
y_м = (y_а + y_в) / 2 = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2

Таким образом, координаты точки М равны (1, 2).

Аналогично найдем координаты точки К - середины отрезка АС:
x_к = (x_а + x_с) / 2 = (-2 - 2) / 2 = -4 / 2 = -2
y_к = (y_а + y_с) / 2 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4

Таким образом, координаты точки К равны (-2, 4).

б) Теперь найдем длину медианы МС и КВ.
Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости:
d = sqrt((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2)

Найдем длину медианы МС:
d_мс = sqrt((x_м - x_с)^2 + (y_м - y_с)^2) = sqrt((1 - (-2))^2 + (2 - 3)^2) = sqrt(3^2 + (-1)^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10)

Таким образом, длина медианы МС равна sqrt(10).

Аналогично найдем длину медианы КВ:
d_кв = sqrt((x_к - x_в)^2 + (y_к - y_в)^2) = sqrt((-2 - 4)^2 + (4 - (-1))^2) = sqrt((-6)^2 + 5^2) = sqrt(36 + 25) = sqrt(61)

Таким образом, длина медианы КВ равна sqrt(61).

в) Найдем длину средней линии МК.
Средняя линия МК - это отрезок, соединяющий середины сторон АМ и КМ треугольника АМК.
Длина средней линии МК будет равна среднему арифметическому длин медиан МС и КВ:
d_мк = (d_мс + d_кв) / 2 = (sqrt(10) + sqrt(61)) / 2

г) Найдем длины сторон треугольника АВС.
Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости.

Длина стороны АВ:
d_ав = sqrt((x_а - x_в)^2 + (y_а - y_в)^2) = sqrt((-2 - 4)^2 + (5 - (-1))^2) = sqrt((-6)^2 + 6^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72)

Длина стороны АС:
d_ас = sqrt((x_а - x_с)^2 + (y_а - y_с)^2) = sqrt((-2 - (-2))^2 + (5 - 3)^2) = sqrt(0^2 + 2^2) = sqrt(0 + 4) = sqrt(4)

Длина стороны ВС:
d_вс = sqrt((x_в - x_с)^2 + (y_в - y_с)^2) = sqrt((4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2) = sqrt((6)^2 + (-4)^2) = sqrt(36 + 16) = sqrt(52)

Таким образом, длины сторон треугольника АВС равны sqrt(72), sqrt(4) и sqrt(52).