Задача 1 (рисунок 1).
1) МВ и КВ, МА и ТА, КС и ТС - отрезки касательных, проведённых из одной точки. Они равны по свойству касательных. Следовательно, треугольник АВС разбивается на три пары равных (попарно) отрезков.
PΔАВС=2*2+4*2+6*2=24см.
Задача 2 (рисунок 2).
3:4=3х+4х
По теореме о пересекающихся хордах:
36*3=3х*4х
108=12х²
х=3.
CD=3*7=21см.
Задача 3 (рисунок 3).
Сначала ищем градусную меру дуг АМВ и АСВ.
Если 2 дуги, на которые делит окружность любая хорда, вместе равны 360°, то:
(360-80):2=140° - дуга АСВ.
Тогда дуга АМВ = 140+80=220°. (в сумме 360).
Дальше пользуемся свойствами вписанных и центральных углов:
1) ∠АСВ=150°, ∠АОВ=210° (центральные ∠).
2) ∠АМВ=половине АОВ=75°, ∠АВМ=половине АОМ=90°,
3)∠АСВ=половине АМВ=105° (вписанные углы).
ответ: 210° - ∠АМВ, 90° - ∠АВМ, 105° - ∠АСВ.
1. Возможно, этот угол опирается на диаметр, потому как в противном случае есть контрпример. Продлим одну из сторон угла назад до пересечения с окружностью. Данный угол внешний для треугольника, у которого один из углов 90 градусов, а второй не равняется нулю. Значит, угол больше 90 градусов, но меньше 180 градусов. Значит, данный угол - тупой по определению.
2. В треугольнике АДВ медиана ДF равна половине гипотенузы АВ. Аналогично ДЕ равно половине АС. А ЕF - средняя линия треугольника АВС, параллельная ВС, а значит и равная её половине. Отсюда периметр искомого треугольника равен полупериметру периметра АВС на основании того, что стороны треугольников можно разделить на пары, в каждой из которых сторона треугольника АВС будет вдвое больше стороны треугольника DEF.
ответ: 64/2=32 см.
3. Известно, что биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
По теореме Пифагора ВС=10 см.
Угол АВМ=СВМ=АМВ, т.к. углы накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, АМ=АВ=СД.
Аналогично СД=МД. Значит, АВ=ВС/2, АВСД=2*ВС+2*ВС/2=3*ВС=30 см.
ответ: 30 см.
4. Диаметр АВ равен 2кор(2), хорда ВС - 2кор(2)/3. Проведём АС. По теореме Пифагора:
АС^2=8-8/9;
AC^2=64/9;
AC=8/3.
Центр окружности О, ОМ - искомое расстояние. Т.к. угол АСВ опирается на диаметр, то он равен 90 градусов. Расстояние до прямой есть перпендикуляр до этой прямой. Значит, ОМ параллельно АС, а АО=ОВ, а отсюда следует, что ОМ - средняя линия треугольника АВС. Значит, ОМ= АС/2=4/3.
ответ: 4/3.