Плоскости двух треугольников abc и abc1 образуют угол в 60°. отрезок сс1, перпендикулярен плоскости треугольника abc1, углы а и в которого равны соответственно 30º и 60°, а сторона ac1 равна 18 см. вычислите площадь треугольника авс.
Объяснение: Угол между плоскостями данных треугольников – двугранный. Его величина определяется градусной мерой линейного угла, сторонами которого являются лучи, проведённые в его гранях перпендикулярно ребру с общим началом на нём. На приложенном рисунке СН - наклонная, С1Н - ее проекция, оба отрезка по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярны АВ в одной точке и составляют между плоскостями треугольников ∠СНС1=60°.
Сумма двух углов ∆ АВС1 ∠А+∠В=30°+60°=90°. Из суммы углов треугольника третий ∠С1=180°-90°=90°. ⇒ ∆ АВС1 - прямоугольный. АВ=АС1:sin60°=18:(√3/2)=12√3 см
Трапеция АВСД. Угол АВД - прямой. Треугольник АВД - прямоугольный, АВ и ВД - катеты, АД - гипотенуза, ВН - высота этого треугольника и высота трапеции. Высота из прямого угла к гипотенузе делит ее на отрезки, которые являются проекциями катетов треугольника на гипотенузу.
АН - проекция боковой стороны АВ ( и катета треугольника АВС) на АД.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. ⇒ ВД²=АД*ДН Пусть ДН=х Тогда АД=7+х 144=(7+х)*х ⇒ х²+7х-144=0 Решив квадратное уравнение, получим х₁=9 х₂=-16 ( не подходит) НД=9 АД=7+9=16 см Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой: ВН²=АН*НД ВН²=7*9=63 ВН=√63=3√7 см..
Цитата: "центр О вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является и биссектрисой и медианой. Значит центр О вписанной окружности лежит на высоте. Тогда радиус вписанной окружности является катетом прямоугольного треугольника, вторым катетом которого является половина основания. Пусть R = половине основания, тогда прямоугольный тр-к будет равнобедренным и половина угла при основании будет равна 45°. Угол при основании тогда =90°, что невозможно. Итак, радиус не может быть равен половине основания, значит и диаметр впмсанной окружности всегда меньше основания данного нам равнобедренного тр-ка, что и требовалось доказать..
ответ: 108√3 см²
Объяснение: Угол между плоскостями данных треугольников – двугранный. Его величина определяется градусной мерой линейного угла, сторонами которого являются лучи, проведённые в его гранях перпендикулярно ребру с общим началом на нём. На приложенном рисунке СН - наклонная, С1Н - ее проекция, оба отрезка по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярны АВ в одной точке и составляют между плоскостями треугольников ∠СНС1=60°.
Сумма двух углов ∆ АВС1 ∠А+∠В=30°+60°=90°. Из суммы углов треугольника третий ∠С1=180°-90°=90°. ⇒ ∆ АВС1 - прямоугольный. АВ=АС1:sin60°=18:(√3/2)=12√3 см
Из ∆ АНС1 отрезок С1Н=АС1•sin∠HAC1=18•1/2=9 см
Высота СН ∆ АВС равна С1Н:cos∠CHC1=9:1/2=18 см
Ѕ(АВС)=СН•АВ:2=18•12√3:2=108√3 см²