В правильной пирамиде высота её проходит в основании через точку пересечения медиан (они же и высоты) Этой точкой медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника основания. Рассмотрим сечение пирамиды и описанного около неё шара, проходящее через боковое ребро пирамиды. Медиана (высота) основания равна 3*cos 30° = 3*√3/2. В сечении будет прямоугольный треугольник. Один из катетов его - это 2/3 медианы основания. Он равен 3*√3/2*(2*3) = √3. Второй катет - это высота пирамиды. Она равна √3*tg 30° = √3*(1/√3) = 1. Боковое ребро - это гипотенуза в рассматриваемом треугольнике. Оно равно 1 / sin 30° = 1 / (1/2) = 2. Центр шара, как и центр описанной вокруг рассмотренного треугольника окружности, находится на пересечении перпендикуляра к середине бокового ребра и высоты пирамиды. Эта точка будет находиться ниже основания пирамиды. Радиус шара равен 1 / sin 30° = 1 / (1/2) = 2.
1200√3 см²
Объяснение:
Дано: КСМТ - трапеція, КС=МТ, ∠КМТ=90°, КМ - бісектриса, ОМ=КО=ОТ=40 см. Знайти S(КСМТ).
∠КМТ - прямий, отже він спирається на діаметр описаного кола, тоді КТ=КО+ОТ=80 см.
∠СКМ=∠ТКМ за умовою, ∠СМК=∠ТКМ як внутрішні при СМ║КТ і січній КМ, отже ∠КСМ=∠СКМ, а ΔКСМ - рівнобедрений, КС=СМ.
Проведемо радіус ОМ=40 см, ΔКОМ=ΔКСМ за двома кутами і спільною стороною, отже КС=СМ=КО=ОМ=40 см.
МТ=КС=40 см.
ΔОМТ - рівнобедрений, проведемо МН - висоту і медіану.
ОН=ТН=40:2=20 см
За теоремою Піфагора МН=√(МТ²-ТН²)=√(1600-400)=√1200=20√3 см.
S(КСМТ)=(СМ+КТ):2*МН=(40+80):2*20√3=1200√3 см²