Площади подобных треугольников равны 17смв квадрате и 68см в крадрате.
Сторона первого треугольника равна 8см. Надо найти сходственную сторону второго треугольникаОпределение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. ΔABC ~ A1B1C1
1. Подобны ли треугольники? Почему? (заготовленный чертеж ).
а) Треугольник ABC и треугольник A1B1C1, если AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A1 = 46˚, ∠B1 = 50˚, A1B1 = 10,5 , B1C1 = 7,5, A1C1 = 6.
б) В одном равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 24˚, а в другом равнобедренном треугольнике угол при основании равен 78˚.
Вспомним теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.
Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
2. Письменная работа по заготовленным чертежам.
На экране чертеж:
а) Дано: BN : NC = 1:2,
BM = 7 см, AM = 3 см,
SMBN = 7 см2.
Найти: SABC
(ответ: 30 см2.)
б) Дано: AE = 2 см,
EB = 5 см,
AK = KC,
SAEK = 8 см2.
Найти: SABC
(ответ: 56 см2.)
3. Докажем теорему об отношении площадей подобных треугольников (доказывает теорему ученик на доске весь класс).
Теорема: Отношение двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
4. Актуализация знаний.
Решение задач:
1. Площади двух подобных треугольников равны 75 см2 и 300 см2. Одна из сторон второго треугольника равна 9см. Найти сходственную ей сторону первого треугольника. (ответ: 4,5 см.)
2. Сходственные стороны подобных треугольников равны 6см и 4см, а сумма их площадей равна 78 см2. Найти площади этих треугольников. (ответ: 54 см2 и 24 см2.)
При наличии времени самостоятельная работа обучающего характера.
Вариант 1
У подобных треугольников сходственные стороны равны 7 см и 35 см.
Площадь первого треугольника равна 27 см2.
Найти площадь второго треугольника. (ответ: 675 см2.)
Вариант 2
Площади подобных треугольников равны 17 см2 и 68 см2. Сторона первого треугольника равна 8см. Найти сходственную сторону второго треугольника. (ответ: 4 см.).
ОбъяІншими словами: дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Подібність фігур, як і подібність трикутників, позначають спеціальним знаком: *. Запис F * F1 читається як «фігура F подібна фігурі F1».
З означення подібності фігур випливає, що рівні фігури — подібні (коефіцієнт подібності дорівнює одиниці).
Властивості подібних фігур
1) Кожна фігура подібна собі (коефіцієнт подібності дорівнює 1).
2) Якщо фігура F подібна фігурі F1 з коефіцієнтом подібності k, то фігура F1 подібна фігурі F з коефіцієнтом .
3) Якщо фігура F1 подібна фігурі F2 з коефіцієнтом подібності k1, а фігура F2 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k2, то фігура F1 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k1· k2.
4) Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.
Доведемо цю властивість для многокутників.
Нехай F і F' — це два подібні n-кутники з коефіцієнтом подібності k, a S i S' — їхні площі (рис. 175).
З'ясуємо, чому дорівнює відношення їхніх площ. Розіб'ємо n-кутник F на п трикутників Δ1, Δ2, ..., Δп, сума площ яких дорівнює S.
Перетворення подібності, яке переводить F у F', переводить ці трикутники у трикутники , , ..., , сума площ яких дорівнює S'.
Оскільки з урахуванням коефіцієнта подібності k основи і висоти трикутників Δ1, Δ2, ..., Δn дорівнюють a1 і h1, а2 і h2, ..., ап і hп, то основи і висоти трикутників , , ..., дорівнюють відповідно ka1 і kh1, ka2 і kh2, ..., kan і khn. Тоді
S' = ka1 · kh1 + ka2 · kh2 + ... + kan · khn = k2= k2S.
Оскільки S' = k2S,.
Отже, площі подібних многокутників відносяться як квадрати їхніх відповідних лінійних розмірів.
Розв'язування вправ
1. Наведіть приклади подібних фігур.
2. Чи подібні будь-які рівні фігури?
3. Чи рівні будь-які подібні фігури? При якій умові подібні фігури рівні?
4. Про дві фігури відомо, що F2 * F1 і F1 * F2 з тим самим коефіцієнтом подібності k. Що можна сказати про значення коефіцієнта k і про фігури F1 і F2?
5. Згадайте означення подібних трикутників.
6. Сформулюйте ознаки подібності трикутників.
IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу
Розв'язування задач
1. Сторони двох правильних n-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі? (Відповідь. а2 : b2)
2. Площі двох квадратів відносяться як 3 : 5. Чому дорівнює сторона меншого квадрата, якщо сторона більшого квадрата дорівнює 10 см? (Відповідь. (см))
3. Площа меншого многокутника дорівнює 45 см2. Чому дорівнює площа більшого многокутника, подібного даному, якщо відповідні сторони многокутників дорівнюють 10 см і 15 см? (Відповідь. 101,25 см2)
4. Відповідні сторони двох подібних многокутників відносяться як а : b. Площа першого многокутника дорівнює S. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. )
5. Периметри подібних многокутників відносяться як 5 : 7, а різниця площ дорівнює 864 см2. Знайдіть площі многокутників.
Розв'язання
Нехай S см2 — площа меншого многокутника, тоді (S + 864) см2 — площа більшого многокутника. Згідно з теоремою маємо , тоді 49S = 25(S + 864); 24S = 21600; S = 900 см2.
Отже, площа меншого многокутника дорівнює 900 см2, а площа більшого 900 + 864 = 1764 (см2).
Відповідь. 900 см2 і 1764 см2.
6. Пряма, перпендикулярна до висоти трикутника, ділить його площу навпіл. Знайдіть відстань від цієї прямої до вершини трикутника, з якої проведено висоту, якщо вона дорівнює h.
Розв'язання
Нехай у трикутнику ABC (рис. 176) BDAC, FKBD, SΔFВК * SΔFKC, BD = h.
ΔFBK * ΔАВС (за двома кутами), тоді . Враховуючи, що SΔABC = 2SΔFBK BD = h, маємо = , звідси BS2 = BS, або BS = = .
Відповідь. .
7. На стороні АВ трикутника ABC взято довільну точку D і з неї проведено відрізки DE і DF так, що DE || AC, DF || BC. Знайдіть площу трикутника CEF, якщо площі трикутників ADF і BED відповідно дорівнюють S1 і S2 (рис. 177).
Розв'язання
Нехай S — площа трикутника CEF. ΔADF * ΔBED (оскільки кожний із них подібний трикутнику ABC.
Отже, , звідси .
Висоти трикутників ADF і FEC, проведені до сторін AF і FC, рівні між собою.
Тоді , звідси S = S1 = .
Відповідь. .
V. Домашнє завдання
1. Вивчити теоретичний матеріал.
2. Розв'язати задачі.
1) Через середину висоти трикутника перпендикулярно до неї проведено пряму. У якому відношенні вона ділить площу трикутника?
2) Периметри правильних л-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі?
VI. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу
1. Сформулюйте теорему про відношення площ подібних фігур.
2. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює відношення їхніх площ? (Відповідь. 1 : 4)
3. Периметри двох подібних многокутників відносяться як 3 : 5. Площа більшого многокутника дорівнює 40 см2. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. 14,4 см2)
Попередня
Зміст
Наступна
Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити
снение: