Проведем из О к указанным сторонам трапеции перпендикуляры к АВ -а, к ВС - е, к СD-у
Рассмотрим ∆ ВОа и ВОе. Они прямоугольные , имеют общую гипотенузу ВО и по равному острому углу при В.
Если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны. ⇒
катет аО = еО
Аналогично доказывается равенство катетов еО и уО треугольников СОе и СОу.
Отрезки Оа, Ое, Оу равны и как перпендикуляры от точки до прямой, являются расстоянием от О до АВ, до ВС и до AD.
Т.е. О - равноудалена от прямых АВ, ВС и AD, ч.т.д.
Как вариант: Из теоремы:
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон, следует:
Точка О - общая для биссектрис двух углов с общей стороной ВС, следовательно, равноудалена от прямых, содержащих их стороны.
<BCA и <BDA равны по условию, а <BOC=<AOD как вертикальные.
Из подобия треугольников СО/OD=BO/AO или СО/ВО=OD/AO=DC/AB, а
<AOB=<COD как вертикальные.
Значит треугольники АВО и СOD подобны по второму признаку
подобия: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны
двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими
сторонами, равны, то такие треугольники подобны."
Из подобия этих треугольников <ABO=<OCD или <ABD=<ACD,
как углы, образованные пропорциональными сторонами, что и требовалось доказать.