Отрезок АВ пересекает плоскость а в точке С, которая делит его в отношении 4:1, считая от точки А. Точки А1 и В1 выбраны в плоскости а так, что прямые АА, и ВB, параллельны. Длина отрезка А1С равна 12 см. Найдите ллину отрезка А1В1
Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :) Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) ) Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC; то есть ∠BAC = ∠BA1C; Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому ∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK; следовательно ∠BAC = ∠BMK; и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой. ∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C; BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A); BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C); То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны. коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.
Для вычисления суммы углов выпуклого N-многоугольника нужно использовать формулу
Треугольник ABC состоит из ОДНОГО треугольника, значит сумма всех его углов равна
Четырехугольник DEFG состоит из ДВУХ треугольников, значит сумма всех его углов равна
Пятиугольник MNOPQ состоит из ТРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна
Шестиугольник RSTUVW состоит из ЧЕТЫРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна
........
N-угольник состоит из N - 2 треугольников, значит сумма всех его углов равна (строго доказываеться с метода математической индукции) ------------------------------------------------
Теперь сама задача см. Рис. 2 По скольку 6-угольник ABCDEF правильный, то также
Находить скалярное произведение будем за опредилением через угол:
Как видим, нам нужно найти величину угла и длину стороны .
(1) :
угол правильного 6-угольника равен:
диагональ AD разделяет 6-угольник пополам, и потому угол
(2) : для нахождения AD найдем сначала DF за теоремой косинусов в треуг. FED:
будем за опредилением через угол:
и длину стороны 
.
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK;
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.