Решение: Найдем величины отрезков АМ, MN и ND. Их сумма равна 16,5, а отношение 1:17:15, то есть х+17х+15х=33х=16,5. Отсюда х=0,5. Тогда АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5. Опустим перпендикуляр РН из точки Р на сторону АD. Это высота треугольника МNР. Тогда из подобия треугольников ALN и НРN (РН параллельна АВ) имеем: РН/AL=HN/AN. или НN=AN*PH/AN или HN=9*РН/5 (1). Из подобия треугольников CMD и PMН (РН параллельна CD) имеем: РН/CD=MH/MD. или MН=MD*PH/CD или MH=16*РН/10 или MH=1,6*РН (2). MH+HN=8,5 или МН=8,5-HN (3). Приравниваем (2) и (3): 1,6*РН=8,5-HN или HN=8,5-1,6*PH (4). а теперь приравняем (1) и (4): 9*РН/5=8,5-1,6*PH или 9*РН=42,5-8РН или 17РН=42,5. Отсюда РН=2,5. Итак, высота треугольника MNР равна 2,5, а его основание равно 8,5. Следовательно, площадь треугольника MNР равна Smnр=(1/2)*8,5*2,5=10,625. ответ: площадь треугольника MNР равна 10,625 ед².
Решение координатным методом: Пусть начало координат в точке А(0;0). Величины отрезков АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5. Тогда координаты точек M(0,5;0) и N(9;0). Имеем точки: L(0;5), M(0,5;0), N(9;0) и C(16,5;10). Напишем уравнения прямых, проходящик через две точки по формулам: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Точки C(16,5;10) и M(0,5;0) . Прямая СМ: (х-0,5)/16=(y-0)/10 или 10x-16y=5. (1) Точки L(0;5) и N(9;0) . Прямая LN: (х-0)/9=(y-5)/-5 или 5x+9y=45. (2) Координаты точки пересечения Р(х;y) найдем, решив систему двух уравнений (1) и
(2). 10x-16y=5 (1) 5x+9y=45 (2) или 10x-16y=5 (1) 10x+18y=90 (2). Вычтем из второго первое: 34y=85. y=2,5 тогда х=4,5. Итак, имеем точку Р(4,5;2,5) Координата y этой точки - это высота треугольника MNР. Зная основание MN = 8,5 этого треугольника, находим его площадь: Smnp=(1/2)*8,5*2,5=10,625 ед².
ABCD-четырехугольник , положим что K,M,L,N - это середины сторон AD,AB,BC,CD соответственно, тогда KM средняя линия треугольника ADB, ML средняя линия треугольника AC так же и с остальными. По условию MN=KL , а так как средние лишний равны половине стороне которой параллельны, стало быть четырёхугольник KLMN - прямоугольник. 1) Если требуется найти синус угла между диагоналями четырехугольника, то так как средние линии взаимно перпендикулярны и параллельны диагоналям, то угол между ними равен 90 гр , откуда sin90=1 2) Если требуется найти синус угла между отрезками, то выразив KL=√(BD^2+AC^2)/2 KO=√(BD^2+AC^2)/4 Из теоремы синусов, в треугольнике KON, если x угол между отрезками, то (AC)/sinx =√(BD^2+AC^2)/(2cos(x/2)) откуда sin(x/2)=(AC^2/(2*√(BD^2+AC^2)))=y тогда cos(x/2)=√(1-y^2) значит sin(x)=2*√(y^2-y^4) = AC^2*√(4AC^2+4BD^2-AC^4)/(2*(AC^2+BD^2))
Найдем величины отрезков АМ, MN и ND.
Их сумма равна 16,5, а отношение 1:17:15, то есть х+17х+15х=33х=16,5.
Отсюда х=0,5. Тогда АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5.
Опустим перпендикуляр РН из точки Р на сторону АD.
Это высота треугольника МNР.
Тогда из подобия треугольников ALN и НРN (РН параллельна АВ) имеем:
РН/AL=HN/AN. или НN=AN*PH/AN или HN=9*РН/5 (1).
Из подобия треугольников CMD и PMН (РН параллельна CD) имеем:
РН/CD=MH/MD. или MН=MD*PH/CD или MH=16*РН/10 или MH=1,6*РН (2).
MH+HN=8,5 или МН=8,5-HN (3).
Приравниваем (2) и (3):
1,6*РН=8,5-HN или HN=8,5-1,6*PH (4).
а теперь приравняем (1) и (4):
9*РН/5=8,5-1,6*PH или
9*РН=42,5-8РН или 17РН=42,5. Отсюда РН=2,5.
Итак, высота треугольника MNР равна 2,5, а его основание равно 8,5.
Следовательно, площадь треугольника MNР равна Smnр=(1/2)*8,5*2,5=10,625.
ответ: площадь треугольника MNР равна 10,625 ед².
Решение координатным методом:
Пусть начало координат в точке А(0;0).
Величины отрезков АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5.
Тогда координаты точек M(0,5;0) и N(9;0).
Имеем точки:
L(0;5), M(0,5;0), N(9;0) и C(16,5;10).
Напишем уравнения прямых, проходящик через две точки по формулам:
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
Точки C(16,5;10) и M(0,5;0) .
Прямая СМ: (х-0,5)/16=(y-0)/10 или 10x-16y=5. (1)
Точки L(0;5) и N(9;0) .
Прямая LN: (х-0)/9=(y-5)/-5 или 5x+9y=45. (2)
Координаты точки пересечения Р(х;y) найдем, решив систему двух уравнений (1) и
(2).
10x-16y=5 (1)
5x+9y=45 (2) или
10x-16y=5 (1)
10x+18y=90 (2). Вычтем из второго первое: 34y=85.
y=2,5 тогда х=4,5.
Итак, имеем точку Р(4,5;2,5)
Координата y этой точки - это высота треугольника MNР.
Зная основание MN = 8,5 этого треугольника, находим его площадь:
Smnp=(1/2)*8,5*2,5=10,625 ед².