Вариант 1
1. К окружности с центром О и радиусом 5 см проведены две касательные АВ и АС, АО=13 см. Найти АС.
2. В треугольнике АВС проведены серединные перпендикуляры ОЕ, ОF, ОК к сторонам АВ, ВС и АС соответственно. Причем ОF =6см, ВF=8см. Найти ОС.
3. В окружности проведены две хорды АВ и СD , которые пересеклись в точке Е. Причем АЕ =3см, ВЕ = 9 см, а ЕС в 3 раза больше ЕD. Найти Е D.
4. Окружность с центром О и радиусом 16см описана треугольника MNK так, что угол MON равен 120 градусов, угол NOK равен 90 градусов. Найти MN и NK
Рисунок - во вложении.
Т.к. E и F - внутренние точки отрезка АВ, и по условию АЕ=BF, то
для EB=AB-AE и для AF=AB-BF следует, что EB=AF.
Рассмотрим прямоугольные ΔADF и ΔВСЕ. У них: 1) АD=BC (противолежащие стороны прямоугольника); 2) AF=EB (по доказанному выше). Значит, ΔADF = ΔВСЕ по двум катетам.
Из равенства этих треугольников следует, что ∠DFA=∠СЕВ. Отсюда, ΔEGF - равнобедренный с основанием EF, тогда GF=GE. Доказан пункт Б).
Т.к. АВСD - прямоугольник, то АВ║CD. Тогда ∠EFG=∠GDC(как накрестлежащие при секущей FD) и ∠FEG=∠GCD (как накрестлежащие при секущей ЕС). Отсюда, ΔDGС - равнобедренный с основанием DC, тогда DG=GC. Доказан пункт A).