В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому радиус описанной окружности равен 2,5х. Медиана, проведенная к гипотенузе из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам, т.е. попадает в центр описанной окружности. Зная, что ее длина равна 6, можем найти х:
Периметр треугольника равен 3х+4х+5х=12х, т.е. 12*2,4=28,8
В основании АВС проведём высоту АК. АК=а√3/2=ВС√3/2=4√3. МЕ - перпендикуляр к ВС. МЕ - средняя линия тр-ка АСК, значит МЕ=АК/2=2√3. РЕ - перпендикуляр к ВС. РЕ - средняя линия тр-ка SКС. SP=CP ⇒ РМ - средняя линия тр-ка SAC, значит треугольники SAK и РМЕ подобны с коэффициентом подобия k=АК/МЕ=2 SK=√(SB²-СK²)=√(15²-4²)=√209. SO - высота пирамиды. Точка О - центр описанной окружности около правильного тр-ка АВС, значит R=АО=АК·2/3=8√3/3. В тр-ке SAO SO=√(SA²-AO²)=√(15²-(8√3/3)²)=√(611/3). Площадь тр-ка SAK: S=AK·SO/2=4√3·√611/(2√3)=2√611. АД⊥SK. Площадь того же тр-ка: S=АД·SK/2 ⇒ АД=2S/SK=4√(611/209). В тр-ке МРЕ МТ⊥РЕ. АК║МЕ, SA║MP, SK║PE, значит плоскости тр-ков SAE и МРЕ параллельны. АД⊥SBC ⇒ МT⊥SBC. Из подобия треугольников SAK и МРЕ МТ=АД/k=2√(611/209) - это ответ.
Мы решили по теореме косинусов.