Question

Докажите что четырехугольник abcd с вершинами a(-2;-3), b(-1;6), c(5;4) и d(4;1) является прямоугольником​

Answer 1

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы должны проверить, что его стороны параллельны и что его углы прямые.

1. Проверим, являются ли стороны AB и CD параллельными:

Найдем склоны прямых AB и CD, используя формулу склона (прямая через две точки):
Склон AB = (у2 - у1) / (х2 - х1)
Склон CD = (у4 - у3) / (х4 - х3)

Для точек A(-2;-3) и B(-1;6):
Склон AB = (6 - (-3)) / (-1 - (-2)) = 9 / 1 = 9

Для точек C(5;4) и D(4;1):
Склон CD = (1 - 4) / (4 - 5) = (-3) / (-1) = 3

Так как склоны AB и CD равны 9 и 3 соответственно, они не равны. Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что стороны AB и CD не параллельны.

2. Проверим, являются ли стороны BC и AD параллельными:

Найдем склоны прямых BC и AD, используя формулу склона:
Склон BC = (у3 - у2) / (х3 - х2)
Склон AD = (у4 - у1) / (х4 - х1)

Для точек B(-1;6) и C(5;4):
Склон BC = (4 - 6) / (5 - (-1)) = (-2) / 6 = -1/3

Для точек A(-2;-3) и D(4;1):
Склон AD = (1 - (-3)) / (4 - (-2)) = 4 / 6 = 2/3

Так как склоны BC и AD равны -1/3 и 2/3 соответственно, они не равны. Значит, стороны BC и AD также не параллельны.

Исходя из вышеизложенного, мы можем сделать вывод, что стороны AB и CD, а также стороны BC и AD не параллельны. Значит, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.

3. Проверим, являются ли углы прямыми:

Проверим, являются ли углы BAC и CDA прямыми. Для этого мы можем использовать свойство перпендикулярных прямых.

Для точек A(-2;-3), B(-1;6) и C(5;4):
Склон прямой AB = 9
Склон прямой BC = -1/3

Если эти склоны являются отрицательно взаимообратными (т.е. их произведение равно -1), то прямые AB и BC будут перпендикулярными.

9 * (-1/3) = -3

Значит, угол BAC является прямым углом.

Для точек A(-2;-3), C(5;4) и D(4;1):
Склон прямой AC = (4 - (-3)) / (5 - (-2)) = 7 / 7 = 1
Склон прямой CD = (1 - 4) / (4 - 5) = (-3) / (-1) = 3

Если эти склоны являются отрицательно взаимообратными (т.е. их произведение равно -1), то прямые AC и CD будут перпендикулярными.

1 * 3 = 3

Значит, угол CDA также является прямым углом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD с вершинами a(-2;-3), b(-1;6), c(5;4) и d(4;1) является прямоугольником.