Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны, что следует из условия. Т.к. ∠А=∠А₁, ∠В=∠В₁, то треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, а в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны,
Значит, АВ=А₁В₁=ВС/В₁С₁⇒6/9=8/В₁С₁; В₁С₁=9*8/6=12/см/
6/9=АС/А₁С₁⇒АС=6*18/9=12/см/
Проверим пропорциональность сходственных сторон
АВ/А₁В₁=ВС/В₁С₁=АС/А₁С₁; 6/9=8/12=12/18.
Все отношения после сокращения дают 2/3, значит, найдены неизвестные стороны верно.
Признаки ромба: равенство сторон и неравенство диагоналей.
Перпендикулярность диагоналей и деление их точкой пересечения пополам вытекают как следствие из равенства сторон по свойству равнобедренных треугольников.
Точка А Точка В Точка С
х у х у х у
1 5 7 7 13 5
Длины сторон
AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) = 40 6,32455532
BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) = 40 6,32455532
AC (b) = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) = 144 12
Точка D BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) = 16 4
х у СD = √((xD-xС)² + (yD-yС)²) = 40 6,32455532
7 3 AD = √((xD-xA)² + (yD-yA)²) = 40 6,32455532.
Как видим - все признаки совпали.
Доказано: чотирикутник з вершинами в точках А(1;5),В(7;7),С(13;5) i D(7;3)-ромб.
Это же можно доказать и по векторам.
АВ = (7-1; 7-5) = (6; 2), |AB| = √(36 + 4) = √40.
BC = (13-7; 5-7) = (6; -2), |BC| = √(36 + 4) = √40.
CD = (7-13; 3-5) = (-6; -2), |CD| = √(36 + 4) = √40.
AD = (7-1; 3-5) = (6; -2), |AD| = √(36 + 4) = √40.
Диагонали:
BD = (7-7; 3-7) = (0; -4), |BD| = 4.
AC = (13-1; 5-5) = (12; 0), |AC| = 12.