Question

Высота cd провидённая к основанию ab равнобедренного треугольника abc , равна 8 см , а само основание 12 см . найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружности. напишите решение для 8
класса

Answer 1

См чертеж. У меня немного другие обозначения, ну, я думаю - разберетесь, я делал чертеж к другой задаче. 

Радиус ВПИСАННОЙ окружности найти можно легко без труда по формуле

r = 2*S/P, где S - площадь треугольника, Р - периметр. 

(эта формула легко находится, если соединить центр вписанной окружности с вершинами и сложить площади 3 полученных треугольников, у которых основаниями будут стороны, а высотами - радиусы в точку касания. Это даже не 8 класс:))

S = 12*8/2 = 48; P = 10 + 10 + 12 = 32; r = 2*48/32 = 3;

Чуть-чуть труднее найти R - радиус описанной окружности.

(есть стандартная формула R = abc/4S, которую тоже очень просто получить, но нужно знать теорему синусов, поэтому рассмотрим более простой на чертеже нарисован треугольник и необходимое дополнительное построение. Высота продолжается за точку пересечения с основанием, и из точки В проводится пепендикуляр к боковой стороне. Эти прямые пересекутся в точке, лежащей на описанной окружности. 

В самом деле, центр обязательно лежит на высоте (медиане, биссектрисе) равнобедренного треугольника (раз есть ось симметрии, то центр обязательно должен лежать на ней. В противном случае у нас было бы ДВА центра! Второй получался, как симметричный относительно высоты :)). С другой стороны, вписанный прямой угол (на чертеже это КВА) должен опираться на диаметр окружности. Поэтому АК - диаметр.

Далее (напоминаю, мои обозначения немного другие, будьте внимательны) Треугольники АВЕ и АВК прямоугольные с общим углом. То есть они подобны.

Получается АК/AB = AB/AE; 2*R =  10^2/8; R = 25/4;