Найдите ∠BAD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если внешний ∠С четырёхугольника равен 108°.
- - -
Дано :
Четырёхугольник ABCD - вписанный в окружность.
Внешний ∠С = 108°.
Найти :
∠BAD = ?
Рассмотрим внешний ∠С и ∠BCD - смежные.
Сумма смежных углов равна 180°.Отсюда -
Внешний ∠С + ∠BCD = 180°
∠BCD = 180° - внешний ∠С
∠BCD = 180° - 108°
∠BCD = 72°.
Теперь рассмотрим ∠BCD и ∠BAD - противоположные.
Если в окружность можно вписать четырёхугольник, то сумма двух противоположных углов равна 180°.Отсюда -
∠BCD + ∠BAD = 180°
∠BAD = 180° - ∠BCD
∠BAD = 180° - 72°
∠BAD = 108°.
108°.
а² = b² + c² - 2*b*c*cos(∠A)
cos(∠A) = (b² + c² - а²)/(2*b*c)
cos(∠A) = (3.4² + 4.9² - 1.9²)/(2*3.4*4.9) = (34² + 49² - 19²)/(2*34*49) = (1156 + 2401 - 381)/(2*34*49) = 47/49
∠A = arccos (47/49) ≈ 16.43°
Аналогично для второго угла
в² = а² + c² - 2*а*c*cos(∠В)
cos(∠В) = (а² + c² - в²)/(2*а*c)
cos(∠В) = (1.9² + 4.9² - 3.4²)/(2*1.9*4.9) = 803/931
∠В = arccos (803/931) ≈ 30.40°
И для третьего можно воспользоваться тем, что сумма углов треугольника равна 180°
∠С = 180-∠А-∠В = 180 - arccos (47/49) - arccos (803/931) ≈ 133.17°