1. ∠ABD = ∠AMK как соответственные при пересечении параллельных прямых BD и МК,
∠А - общий для треугольников ABD и AMK, значит
Δ ABD подобен ΔAMK по двум углам.
AB : AM = BD : MK
AB : 32 = 4 : 8
AB = 32 · 4 / 8 = 16 см
2. ∠ОАВ = ∠ОМК как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и МК,
∠О - общий для треугольников АОВ и МОК, значит
ΔАОВ подобен ΔМОК по двум углам.
АB : MK = AO : MO
AB : 10 = 8 : 20
AB = 10 · 8 / 20 = 4
3. AD : AB = 6 : 15 = 2 : 5
AK : AC = 8 : 20 = 2 : 5
∠A - общий для треугольников ADK и АВС, значит
ΔADK подобен ΔABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
DK : BC = AD : AB = 2 : 5
DK : 30 = 2 : 5
DK = 30 · 2 / 5 = 12 см
4. Площади подобных треугольников относятся, как квадрат коэффициента подобия:
k² = S₁ : S₂ = 64/81
k = √(64/81) = 8/9
a₁ : a₂ = 8 : 9
Из условия задачи не ясно, какому из треугольников принадлежит сторона, равная 8. Рассмотрим два случая:
1) a₁ = 8
8 : a₂ = 8 : 9
a₂ = 8 · 9 / 8 = 9
2) a₂ = 8
a₁ : 8 = 8 : 9
a₁ = 8 · 8 / 9 = 64/9 = 7_1/9
Основания трапеции параллельны.
Её диагонали - секущие.
Накрестлежащие углы при их пересечении с основаниями равны. Треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей, подобны по 3-м углам.
Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению оснований трапеции.
k=4/8=1/2
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции на части, являющиеся высотами треугольников.
Обозначим высоту меньшего треугольника h, высоту большего - Н.
Тогда h/H=1/2.
Высота трапеции содержит 1+2 =3 части.
Каждая часть=9:3=3 см
Поэтому h=3 см
Н=2•3=6 см.
Расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований трапеции равны 3 см и 6 см.
*****************
Задача 2.
Наложим данные треугольники друг на друга так, чтобы стороны их равных углов совпали. Пусть общая вершина будет В, а сами треугольники – АВС и КВМ.
Так как оба треугольника равнобедренные и имеют равные углы при вершине, их углы при основаниях КМ и АС тоже равны ( свойство).
∆ КВМ~∆ АВС. k= ВС/ ВМ=15:5=3
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит его пополам.
КО=ОМ, и АН=НС.
КО=3 ( ∆ КВО - египетский, проверьте по т.Пифагора.)
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
АН:КО=3.
АН=3•3=9
АС=9•2=18 см
Р ∆ АВС=2•ВС+АС=30+18=48 см