Т.к. она равноудалена от вершин треугольника АВС, то ее перпендикуляр МН (расстояние до треугольника) опускается в центр описанной около треугольника окружности. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит в середине гипотенузы.
Пока оформляла решение, ответ уже дали, и т.к. оно несколько отличается. даю вариант решения этой задачи. В прямой призме в основании лежит прямоугольный равнобедренный треугольник. Найти площадь сечения, проходящего через катет нижнего основания и середину гипотенузы верхнего, если расстояние между основаниями 4 и равно расстоянию от вершины нижнего основания до плоскости сечения. Сделаем рисунок призмы. Сечение пересекает верхнее основание призмы по прямой КМ, параллельной СВ и, следовательно, параллельной С₁В₁. Так как К - середина катета С₁А₁, прямая КМ - средняя линия треугольника А₁С₁В₁. С₁К=КА₁ Опустим на АС перпендикуляр КН. Он равен высоте призмы. Прямоугольники СС₁КН и АА₁КН равны, т.к. имеют равные стороны. ⇒ их диагонали СК и АК также равны. ⇒ Треугольник СКА - равнобедренный с высотой КН. АТ - также является высотой этого равнобедренного треугольника, проведенной к его боковой стороне КС ( расстояние от точки до плоскости есть перпендикуляр ) и по условию равна высоте призмы. ⇒ КН=АТ=4 Если высоты равнобедренного треугольника, проведенные к основанию и боковой стороне, равны, этот треугольник - равносторонний и все углы в нем равны 60° АС=СВ=АК=СК АС=СВ=КН:sin (60°)=8:√3 КМ=СВ:2=4:√3 СК=АС=8:√3 и перпендикулярна СВ ( по теореме о трех перпендикулярах) СКМВ - прямоугольная трапеция. Площадь трапеции равна произведению высоты (КС) на полусумму оснований. (КМ+СВ)=8:√3 + 4:√3 =12:√3 =4√3 S (СКМВ)=(8:√3)*(4 √3):2=16 единиц площади) ---------- [email protected]
Пусть точка вне плоскости М.
Т.к. она равноудалена от вершин треугольника АВС, то ее перпендикуляр МН (расстояние до треугольника) опускается в центр описанной около треугольника окружности. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит в середине гипотенузы.
Значит НВ = АВ:2 = 6см
Получился прямоугольный треугольник МВН: гипотенуза МВ = 10см,
катет НВ = 6см и катет МН, который нужно найти.
Теорема Пифагора
МН² = МВ² - НВ² = 100 - 36 = 64 = 8²
ответ: расстояние от точки до плоскости 8 см