Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.
Из суммы углов треугольника найдем угол С:
∠С=180º-45º-60º=75º
В прямоугольном ⊿ ВНС угол ВСН=90º-45º=45º
⊿ ВНС - равнобедренный, СН=ВН=ВС•sin 45º=(√3•√2):2
В ⊿ АНС сторона АС=СH:sin 60º
AC=[(√3•√2):2]:(√2):2=√2
АВ=ВН+АН
АН противолежит углу НСА, равному 90º-60º=30º
АН=АС:2=(√2):2
АВ=(√3•√2):2+(√2):2=(√3+1):√2
––––––––––––
Или по т. синусов:
АВ:sin75=BC:sin60
sin 60º=(√3):2
sin 75º=(√3+1):2√2 ( из таблицы тригонометрических функций)
АВ:(√3+1):2√2=(√3):[(√3):2]⇒
AB=(√3+1):√2
--------------
или по т.косинусов
AB²=BC²+AC²- 2BC•AC•cos75º
cos 75º=(√3-1):2√2
AB²=3+2- 2√6•((√3-1):2√2)⇒
AB=√(2+√3)
Оба найденных значения АВ равны - проверьте, возведя их в квадрат.
[√(2+√3)]²=[(√3+1):√2]²
Проекцией бокового ребра на основание будет радиус R окружности, описанной вокруг основания. Поэтому сразу находим R = корень(5^2 - 4^2) = 3.
высота треугольника (в основании пирамиды) равна h = R*3/2 = 9/2;
боковая сторона равна a = h/sin(60) = корень(3)*3;
площадь основания S = a*h/2 = корень(3)*27/4;
объем пирамиды V = S*H/3 = (корень(3)*27/4)*4/3 = корень(3)*9
Технически безукоризненный из теоремы синусов
a = 2*R*sin(60) = 2*3*корень(3)/2 = корень(3)*3; a^2 = 27.
S = a^2*sin(60)/2 = 27*корень(3)/4;
V = S*H/3 = (корень(3)*27/4)*4/3 = корень(3)*9