Объясняю.
Отрезок, соединяющий середины основания равнобедренного треугольника и боковой стороны, является медианой для боковой стороны. (это видно на рисунке). Почему?
Вспоминаем теорему о медиане в р/б треугольнике:
В р/б треугольнике медиана, проведённая к его основанию, является биссектрисой и высотой.
Следовательно, точка К-конец ВК совпадёт с концом отрезка, соединяющего середины основания равнобедренного треугольника и боковой стороны.
Следующая теорема:
В р/б треугольнике углы при основании равны.
Следовательно, ∠ВАС=∠ВСА=30° ((180-120):2=30).
Треугольник АВК прямоугольный, ∠ВКА=90° (высота ВК).
Катет ВК (он равен 3) лежит против угла в 30°, значит (по св-ву катета):
АВ=3*2=6, а по св-ву медианы в прямоугольном треугольнике:
ОК=6:2=3см.
ответ: 3 - С).
а) Доказано; б) 36
Объяснение:
а)
Обратимся к первому рисунку. Пусть ∠AOB=∠COD=ω. Тогда ∠BAO=∠ABO=∠OCD=∠ODC=α (AO=OB=R и CO=OD=R => треугольники ABO и COD равнобедренные, в которых угол против основания общий, а => 
). ΔAOD равнобедренный (AO=OD=R) => ∠OAD=∠ODA=β. Аналогично ∠OBC=∠OCB=γ. Т.к. четырехугольник вписан в окружность, то ∠BAD+∠BCD=180°. Значит: 
. ∠BAD+∠ABC=
. Получили, что 
, т.к. внутренние односторонние углы при этих прямых и секущей AB в сумме дают 180°. Поскольку AD≠BC (по условию AD=2BC), четырехугольник трапеция, а не параллелограмм, а так как она вписана в окружность, то равнобедренная. Доказано.
Заметим, что центр описанной около четырехугольника окружности может лежать вне него. Тогда доказательство будет отличаться. Начиная с этого момента забудем о тех обозначениях, которые были введены для доказательства первого случая. Обратимся ко второму рисунку. Заметим, что ∠ABC=∠BCD=α, так как AO=OB=R и CO=OD=R => треугольники ABO и COD равнобедренные, в которых угол против основания общий, а => 
(здесь ∠AOB=∠COD=ω) и ∠OBC=∠BCO, так как это углы при основании равнобедренного треугольника BOC (OB=OC=R). Пусть ∠BAD=β. Тогда 
(так как четырехугольник вписанный). Но 
. Значит , т.к. внутренние односторонние углы при этих прямых и секущей AB в сумме дают 180°. Поскольку AD≠BC (по условию AD=2BC), четырехугольник трапеция, а не параллелограмм, а так как она вписана в окружность, то равнобедренная. Доказано.
б)
Решим задачу для 1-ого случая:
Пусть EG - расстояние между прямыми BC и AD. Т.к. BC||AD, то EG=6. Заметим, что треугольники BOC и AOD равновеликие.
Докажем это:
Пусть ∠BOC=α. Тогда (так как ∠AOB=∠COD=90°, а => ∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°) ∠AOD=180°-α.
Получим:
Запишем их площади через формулу про основание и высоту:
Из условия следует, что AD=2BC.
Тогда:
Знаем, что:
Тогда:
Поскольку треугольники BOC и AOD равнобедренные, то OG и OE не только их высоты, но и медианы соответственно, а значит BG=BC/2 и AE=AD/2.
Тогда из прямоугольных треугольников BOG и AOE по теореме Пифагора найдем BC и AD:
По условию AD=2BC.
Значит:
Теперь находим BC и AD:
Теперь можно без труда найти площадь трапеции:
Получили, что площадь трапеции ABCD равна 36.
Задача решена!
(Для второго случая решить пункт б) невозможно, так как дуга AB + дуга CD по условию должны давать 180°, что невозможно для данного случая)
ответ: 16см
Объяснение: если провести отрезок ОМ, то он образует два равных прямоугольных треугольника:
радиусы, проведённые к точкам касания образуют с ними прямой угол 90°, где АМ, ВМ, ОА и ОВ - катеты, а ОМ - гипотенуза. АМ=МВ, как соединяющиеся в одной точке и ОМ - общая сторона. Так как АМ=МВ, то ОМ делит угол М пополам, поэтому угол АМО=углуВМО=60÷2=30°. Так как катет лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы, и так как этим катетом является радиус ОА и ОВ, то: ОМ=8×2=16см
ОМ=16см