Question

В равнобедренном треугольнике ACD с основанием АD проведена высота СF , из точки F на сторону AС опущен перпендикуляр FВ. Найдите длину перпендикуляра FВ, если ∟FСD=30°, а высота
СF = 4 см

Верно ли утверждение, что высота в равностороннем треугольнике равна половине стороны треугольника

В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна 18 см. Определите высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла.

Справедливо ли утверждение о том, что биссектриса прямого угла в равнобедренном прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы?

Answer 1

Для решения первого вопроса о длине перпендикуляра FВ в равнобедренном треугольнике ACD с основанием АD и высотой CF, где ∟FСD=30°, и длина высоты CF=4 см, нам понадобится использовать тригонометрию.

Первым шагом найдем длину стороны CD равнобедренного треугольника ACD:
Так как ∟ACD=∟ADC, то треугольник ACD является равнобедренным, а значит сторона CD равна стороне AD, и обозначим ее как 'а'.

Далее, воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти длину стороны AC:
AC² = AD² + CD²
AC² = a² + a²
AC² = 2a²
AC = √(2a²) = a√2

Теперь, используя свойство треугольника с углом 30°, найдем длину стороны FC:
Так как ∟FСD=30° и сторона CF является высотой, то мы можем применить основное свойство тригонометрии:

sin(∟FСD) = FC/CD
sin(30°) = FC/a

Так как sin(30°) = 1/2, то мы можем записать:
1/2 = FC/a
FC = a/2

Наконец, найдем длину перпендикуляра FВ, который опущен из точки F на сторону AC. Для этого мы можем воспользоваться свойством прямоугольного треугольника:

сos(∟FСD) = FВ/CF
сos(30°) = FВ/4

Так как сos(30°) = √3/2, то мы можем записать:
√3/2 = FВ/4
FВ = 4*(√3/2)
FВ = 2√3 см

Теперь перейдем ко второму вопросу о том, верно ли утверждение, что высота в равностороннем треугольнике равна половине стороны треугольника.

Для этого вспомним свойства равностороннего треугольника: в равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60°. Также, в равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и медианой, а значит делит треугольник на два равных треугольника.

Значит, если длина стороны треугольника равна 'а', то высота треугольника будет делить его на два равных треугольника, каждый со стороной 'а/2'. То есть, высота равна половине стороны треугольника.

Теперь перейдем к третьему вопросу о высоте треугольника, опущенной из вершины прямого угла в прямоугольном равнобедренном треугольнике с гипотенузой равной 18 см.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу) всегда равна d√2, где d - длина равных сторон треугольника.

В данном случае гипотенуза равна 18 см, поэтому d√2 = 18.
Для решения уравнения относительно d найдем:

d = 18/√2
d = 9√2 см.

Таким образом, длина стороны треугольника равна 9√2 см.

Для определения высоты треугольника, опущенной из вершины прямого угла, нам понадобится применить теорему Пифагора.
Высота треугольника будет являться катетом, а гипотенуза будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника.

Воспользуемся теоремой Пифагора:
d² = (9√2)² + h²
81*2 = 162 + h²
162 = 162 + h²
h² = 0
h = 0 см

Таким образом, высота треугольника, опущенная из вершины прямого угла, равна 0 см.

Наконец, перейдем к последнему вопросу о биссектрисе прямого угла в равнобедренном прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла является линией, которая делит угол пополам и является перпендикулярной гипотенузе.

Поскольку прямоугольный равнобедренный треугольник определяется гипотенузой d√2, где d - длина равных сторон треугольника, то биссектриса будет делить прямой угол на два равных угла, каждый из которых равен 45°.

Также, биссектриса будет равномерно делить гипотенузу на два сегмента. Поскольку гипотенуза равна d√2, то каждый сегмент будет равен d√2/2. Таким образом, длина биссектрисы будет равна d√2/2.

Таким образом, утверждение о том, что биссектриса прямого угла в равнобедренном прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, верно. Длина биссектрисы равна d√2/2.