Пусть ABCD - данный параллелограмм, а A', B', C', D' - точки, в которые переходят A, B, C, D. Т.к. при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную ей плоскость (или в себя), то плоскость α'В'С'D' параллельна плоскости αВCD.Т. к. при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то AA' || BB' || CC' || DD' и AA' = BB' = CC' = DD'.Так что в четырехугольнике AA'D'D противолежащие стороны параллельны и равны, а, значит, AA'D'D — параллелограмм. Тогда A'D' = AD и A'D' || AD.Аналогично A'B' = AB и A'B' || AB; C'D' = CD и C'D' || CD; B'C' = BC и B'C' || BC.Т. к. две прямые, параллельные третьей, параллельны, то получаем, что A'D' || B'C', A'B' || C'D'.А, значит, A'B'C'D' — параллелограмм, равный параллелограмму ABCD (т.к. соответствующие стороны равны). Что и требовалось доказать.
Даны координаты вершин пирамиды
А(-5;-1;8) ; В(2;3;1) ; С (4;1;-2;) Д(6;3;7)
Найти:
1) угол между ветрами АВ и АС
2) проекцию вектора АD на вектор АС
3) площадь грани АВС
4) объем и высоту пирамиды
5) составить уравнение АВС
1) Решение: находим векторы AB и AC.
AB = (2-(-5); 3-(-1); 1-8) = (7; 4; -7).
AC = (4-(-5); 1-(-1); -2-8) = (9; 2; -10).
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 7 · 9 + 4 · 2 + (-7) · (-10) = 63 + 8 + 70 = 141.
Найдем длины векторов:
|AB| = √(ax² + ay² + az²) = √(7² + 4² + (-7)²) = √(49 + 16 + 49) = √114
|AC| = √(bx² + by² + bz²) = √(9² + 2² + (-10)²) = √(81 + 4 + 100) = √185
Найдем угол между векторами:
cos α = a · b
|a||b|
cos α = 141 = 47√21090/7030 ≈ 0.97091.
√114 · √185
α = 13.85278°
2) Решение: находим вектор AD.
AD = (6-(-5); 3-(-1); 7-8) = (11; 4; -1).
Пр ba = a · b
|b|
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 11 · 9 + 4 · 2 + (-1) · (-10) = 99 + 8 + 10 = 117
Найдем модуль вектора:(9² + 2² + (-10)² = √81 + 4 + 100 = √185
Пр ba = 117 = 117√185/185 ≈ 8,60201.
√185
3) Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
Находим произведение АВхАС с применением схемы Саррюса.
I j k| I j
7 4 -7| 7 4
9 2 -10| 9 2 = -40i – 63j + 14k + 70j + 14i – 36k =
= -26i + 7j -22k. Вектор равен ( -26; 7; -22)
Найдем модуль вектора:
|c| = √cx² + cy² + cz² = √(-26)² + 7² + (-22)² = √676 + 49 + 484 = √1209
Найдем площадь треугольника:
S = (1/2) √1209 = √1209/2 ≈ 17,38534.
4) Объём пирамиды равен 1/6 смешанного произведения векторов АВ, AC и AD.
Произведение АВхAC и вектор AD найдены выше и равны:
ABxAD = (-26; 7; -22),
AD = (11; 4; -1).
-286 + 28 + 22 = -236.
V = (1/6)*|-236| = 236/6 = (118/3) ≈ 39,333 куб. ед.
5) Так как нормальный вектор плоскости АВС уже найден и равен (-26; 7; -22), осталось подставить в уравнение плоскости координаты точки А(-5;-1;8).
(-26)*(x – (-5)) + 7*(y – (-1) + (-22)*(z – 8) = 0,
-26x + 7y – 22z + 53 = 0 или с положительным коэффициентом при переменной х:
26x - 7y + 22z - 53 = 0.